Question

50 PONTOS! Se o numero z = ( x- 7 ) + $( x^{2} - 10x + 21 )$ i `e real, quais sao os possiveis valores de x?

Answer 1

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que o valor de "x" que torna o número complexo em real puro é:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf x = 3\:\:\:ou\:\:\:x = 7\:\:\:}} \end{gathered} }$

Seja o número complexo:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}z = (x - 7) + (x^{2} - 10x + 21)i \end{gathered}$

Decompondo o número complexo, temos:

          $\Large\begin{cases}Re = x - 7\\Im = x^{2} - 10x + 21 \end{cases}$

Para que o número complexo seja real puro é necessário que parte imaginária "Im" de "z" seja igual à "0". Então:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} - 10x + 21 = 0 \end{gathered}$

        Calculando o valor do delta, temos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\cdot a\cdot c \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (-10)^{2} - 4\cdot1\cdot21 \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 100 - 84 \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 16 \end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\Delta = 16 \end{gathered}$

          Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a} \end{gathered} }$

                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-(-10)\pm\sqrt{16}}{2\cdot1} \end{gathered} }$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{10\pm4}{2} \end{gathered}$

           Obtendo, a raízes, temos:

                    $\Large\begin{cases}x' = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\\x'' = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7 \end{cases}$

            O  conjunto solução é:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}S = \{3, 7\} \end{gathered}$

✅ Portanto, o valor de "x" que torna o número complexo real puro é:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}x = 3\:\:\:ou\:\:\:x = 7\end{gathered}$

Observe que quando x = 3 o número complexo será:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}z = x - 7 = 3 - 7 = -4 \end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}z = -4 \end{gathered}$

E, quando x = 7, o número complexo será:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}z = x - 7 = 7 - 7 = 0 \end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}z = 0 \end{gathered}$

Observe que "0" é um número real.

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