Question

(50 PONTOS)

Quais são os 9 principais produtos notáveis e as 9 principais fatorações ?
E como resolver cada um deles ?

Favor, explicar passo a passo.

Answer 1

Olá.

Vamos revisar, primeiramente, os produtos notáveis:

1) Quadrado da Soma de Dois Termos:

Usamos esse produto notável quando temos que elevar uma soma de dois termos ao quadrado. 

Por exemplo, (5 + x)²

Ao invés de fazer: 

$(5 + x)^{2} = (5 + x) \: . \: (5 + x)$

Podemos usar esse produto notável:

$(5 + x)^{2} = 5^{2} + 2.5.x + x^{2} = 25 + 10x + x^{2}$

Ou seja, o quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo mais o quadrado do segundo termo.

2) Quadrado da Diferença de Dois Termos:

Se aplica o mesmo princípio da regra anterior, porém, ao invés de ser uma soma, é uma subtração:

$(5 - x)^{2} = 5^{2} - 2.5.x + x^{2} = 25 - 10x + x^{2}$

Nesse caso, se subtrai o primeiro termo e o segundo termo e se soma o resultado com o terceiro termo.

Ou seja, o quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo mais o quadrado do segundo termo.

3) Diferença de Dois Quadrados:

Usamos essa regra quando multiplicamos a soma de dois termos e a subtração de dois termos. Por exemplo:

$(4 + x) \: . \: (4 - x)$

Nesse caso, o resultado é igual ao quadrado de '4' menos o quadrado de 'x'.

$(4 + x) \: . \: (4 - x) = 4^{2} - x^{2} = 16 - x^{2}$

4) Cubo da Soma de Dois Termos:

Usamos essa regra quando queremos encontrar o cubo da soma de dois termos.

O cubo da soma de dois termos pode ser encontrado pelo cubo do primeiro termo mais três vezes o primeiro termo ao quadrado vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo mais o cubo do segundo.

Ou seja:

$(5 + x)^{3} = 5^{3} + 3.5^{2}.x + 3.5.x^{2} + x^{3} = 125 + 75x + 15x^{2} + x^{3}$

5) Cubo da Diferença de Dois Termos:

Se aplica o mesmo princípio da regra anterior, mas se eleva uma subtração ao cubo.

O cubo da diferença de dois termos pode ser encontrado pelo cubo do primeiro termo menos três vezes o primeiro ao quadrado vezes o segundo mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo ao quadrado menos o cubo do segundo termo.

Ou seja:

$(5 - x)^{3} = 5^{3} - 3.5^{2}.x + 3.5.x^{2} - x^{3} = 125 - 75x + 15x^{2} - x^{3}$

Vamos revisar, agora, os tipos de fatoração:

1) Fator Comum

Esse é o tipo de fatoração mais simples. Basta encontrar o termo semelhante entre dois monômios. Por exemplo:

$5a + 10ab = 5a . (1 + 2b)$

Ou seja, os termos semelhantes entre os monômios são '5' e 'a'. Se a multiplicação for efetuada, se encontrará a adição inicial.

2) Agrupamento

Usamos o agrupamento quando há quatro monômios que não possuem termos semelhantes juntos, mas possuem termos semelhantes com um outro monômio:

Por exemplo:

$ab + 3b + 7a + 21$

O termo comum entre 'ab' e '3b' é 'b', e o termo comum entre '7a' e '21' é '7'.

$ab + 3b + 7a + 21 =$
$b (a + 3) + 7 (a + 3)$

Porém, o primeiro termo e o segundo termo da adição também possuem um termo em comum: (a + 3). Podemos fatorá-lo, novamente:

$b \textbf{(a + 3)} + 7 \textbf{(a + 3)} =$
$(a + 3) . (b + 7)$

3) Trinômio Quadrado Perfeito

Um trinômio é qualquer expressão algébrica com três termos (separados por sinais de '+' ou de '-'). Um trinômio é um quadrado perfeito quando o produto das raízes quadradas de seus primeiros e terceiros termos multiplicado por dois resulta no terceiro termo.

Ou seja:

$16x^{2} + 8x + 1$

$2 \: . \: \sqrt{16x^{2}} \: . \: \sqrt{1} =$
$2 \: . \: 4x \: . \: 1 =$
$8x$

4) Diferença de Dois Quadrados:

Nesse caso, devemos fazer o oposto do produto notável acima. Devemos encontrar a expressão que gera a diferença de dois quadrados. Para isso, devemos encontrar as raízes dos dois termos:

$4x^{2} - 16^{2}:$

$\sqrt{4x^{2}} / \sqrt{16^{2} =$
$2x \: \: 16$

$(2x + 16) \: . \: (2x - 16)$

Eu realmente não penso que existam nove tipos de fatoração e nove tipos de produtos notáveis. Contudo, eu expliquei aqueles de que conseguia me lembrar.

Bons estudos c:

Answer 2

Olá Thiago,

Como a formula é muito longa apenas direi 7 produtos notaveis.


$\large\texttt{Quadrado da soma: } \\ \\ (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \\ \\ \large\texttt{Quadrado da diferenc\'a: } \\ \\ (a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} \\ \\ \large\texttt{Diferenca de quadrados: } \\ \\ a^{2} - b^{2} = (a+b)*(a-b) \\ \[tex]\large\texttt{Diferenca de cubos: } \\ \\ x^{3}- y^{3} = (x-y) * ( x^{2} +xy + y^{2}) \\ \\\large\texttt{Soma de cubos: } \\ \\ x^{3}+ y^{3} = (x+y) * ( x^{2} -xy + y^{2})$
$\large\texttt{Fator comum (colocasse em evidencia) } \\ \\ \large\texttt{Agrupamento de fatores comuns } \\ \\ \large\texttt{Trinomio Quadrado Perfeito} \\ \\ \large\texttt{Trinomio } x^{2} - ax + b \\ \\ \large\texttt{Diferenca de quadrados (visto acima)} \\ \\ \large\texttt{Soma de cubos} \\ \\ \large\texttt{Diferenca de cubos (visto acima)}$

Quadrado da soma:

(3 + x)² = 3² + 2.3.x + x² = 9 + 6x + x² 

Quadrado da diferença:

(5x - y)² = (5x)² - 2.5x.y + y² = 25x² - 10xy + y²

Diferenca de quadrados:

(338x)² - (337x)² = (338x + 337x) * (338x - 337x) = 375x * 1x = 375x  

Veja que fatorando é muito mais facil do que fazendo 338² * x² e depois subtrair-lho por 337² * x²

Diferenca de cubos: 

17³ - 12³ = (17 - 12) * (17² + 17 * 12 + 12²)
17³ - 12³ = 4 * (289 + 204 + 144)
17³ - 12³ = 4 * 637
17³ - 12³ = 4 * 637
17³ - 12³ = 2548
 
Soma de Cubos:

12³ + 11³ = (12 + 11) * (12² + 12 * 13 + 13²) 
12³ + 11³ = 23 * (12² + 12 * 13 + 13²) 
12³ + 11³ = 23 * (144 + 156 + 169) 
12³ + 11³ = 23 * 469
12³ + 11³ = 10787

 
Espero ter ajudado amigo :D