Question

(50 PONTOS) Por favor, quem souber ajuda!!
No plano cartesiano, dado o vetor $\mathbf{\overset{\to}{c}}=(1;\,0),$ encontrar as coordenadas cartesianas de dois vetores $\mathbf{\overset{\to}{a}}$ e $\mathbf{\overset{\to}{b}},$ de forma que
$\bullet\;\; \mathbf{\overset{\to}{a}}+\mathbf{\overset{\to}{b}}=\mathbf{\overset{\to}{c}};$
$\bullet\;\;$ o menor ângulo formado entre as direções de $\mathbf{\overset{\to}{a}}$ e $\mathbf{\overset{\to}{b}},$ é $\theta=\frac{\pi}{2};$
$\bullet\;\;$ o vetor $\mathbf{\overset{\to}{c}}$ secciona o ângulo $\theta$ na razão $1:2,$ isto é, o ângulo entre $\mathbf{\overset{\to}{a}}$ e $\mathbf{\overset{\to}{c}}$ é metade do ângulo entre $\mathbf{\overset{\to}{c}}$ e $\mathbf{\overset{\to}{b}}.$
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Resposta: $\mathbf{\overset{\to}{a}}=(\frac{3}{4};\,-\frac{\sqrt{3}}{4})\;\;\text{ e }\;\;\mathbf{\overset{\to}{b}}=(\frac{1}{4};\,\frac{\sqrt{3}}{4}).$

Answer 1

Me parece que va a depender de la posición de los vectores $\vec a$ y $\vec b$.

Asumiré que $\vec a$ está debajo de $\vec c$, también aplicaré la matriz de rotación (anti- horaria)

        $R_{t}=\left[\begin{matrix} \cos t&-\sin t\\ \sin t&\cos t \end{matrix}\right]$

1) para hallar $\vec a$ rotaremos a $\vec c$ en sentido horario 30°
aprovechando que $|\vec c|=1$, multiplicaremos luego por $\cos 30\°$

$\vec a = R_{-30}(\vec c)\cdot \cos 30\\ \\ \vec a=\left[\begin{matrix} \cos (-30)&-\sin (-30)\\ \sin (-30)&\cos (-30) \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right]\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \\ \vec a=\left[\begin{matrix} \sqrt{3}/2&1/2\\ -1/2&\sqrt{3}/2 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right]\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\vec a=\left(\dfrac{\sqrt3}{2},-\dfrac{1}{2}\right)\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \\ \boxed{\vec a=\left(\dfrac{3}{4},-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)}$

2) para hallar $\vec b$ rotaremos a $\vec c$ 60° en sentido antihorario y multiplicaremos a este vector por cos 60

$\vec b = R_{60}(\vec c)\cdot \cos 60\\ \\ \vec b=\left[\begin{matrix} \cos (60)&-\sin (60)\\ \sin (60)&\cos (60) \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right]\cdot \dfrac{1}{2}\\ \\ \\ \vec b=\left[\begin{matrix} 1/2&-\sqrt{3}/2\\ \sqrt{3}/2&1/2 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right]\cdot \dfrac{1}{2}$

$\vec b=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \dfrac{1}{2}\\ \\ \\ \boxed{\vec b=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)}$