Question

50 pontos para quem acertar essa questão de Calculo

ATENÇÃO!
QUERO O CALCULO

Answer 1

Consideremos as sequências $a_n$ e $b_n$ cujos termos são positivos dadas pelas suas fórmulas do termo geral:

$\bullet~~a_n=\dfrac{5}{n^4+1}\\\\\\ \bullet~~b_n=\dfrac{5}{n^4}$

com $n$ natural positivo.

__________________

Sabemos que, para todo $n>0,$

$0<n^4<n^4+1$


Tomando os inversos da última desigualdade, temos que

$\dfrac{1}{n^4+1}<\dfrac{1}{n^4}$


Multiplicando os dois lados por $5,$ o sentido da desigualdade é mantido, e obtemos

$\dfrac{5}{n^4+1}<\dfrac{5}{n^4}\\\\\\ a_n<b_n$

para todo $n>0.$

__________________

Sabemos que a série

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5}{n^4}=5\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^4}$

é convergente.

(Podemos verificar a convergência da série de $b_n$ pelo teste da Integral, por exemplo. É o caso de uma série harmônica generalizada, com expoente $p>1.$ Neste caso particular, $p=4$ )


Como $b_n$ converge, e para todo $n>0,$

$a_n<b_n$


concluímos que a série

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{5}{n^4+1}$

também é convergente, pelo teste da comparação.

Answer 2

Resposta:

Esse é o resultado é só fazer o calculo

Explicação passo-a-passo:

5/4+1