Matemática, perguntado por Lukyo, 1 ano atrás

(50 PONTOS) Obtenha uma forma fechada para a soma
\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{k}\cos n.
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Sugestão: Utilize a sequência a_{n}=\mathrm{sen}\left(n-\frac{1}{2}\right),

tome a diferença entre dois termos consecutivos e obtenha uma soma telescópica.

A seguinte identidade será útil para obtenção do resultado:

\mathrm{sen\,}p-\mathrm{sen\,}q=2\,\mathrm{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\left(\frac{p+q}{2} \right ).

Soluções para a tarefa

Respondido por Niiya
2
Avaliando a diferença entre dois termos consecutivos genéricos da sequência dada, temos que

a_{n+1}-a_{n}=sen(n+1-\frac{1}{2})-sen(n-\frac{1}{2})\\\\\\a_{n+1}-a_{n}=sen(n+\frac{1}{2})-sen(n-\frac{1}{2})

Usando a identidade dada:

sen(n+\frac{1}{2})-sen(n-\frac{1}{2})=2\cdot sen\left(\dfrac{(n+\frac{1}{2})-(n-\frac{1}{2})}{2}\right)\cdot cos\left(\dfrac{n+\frac{1}{2}+n-\frac{1}{2}}{2}\right)\\\\\\sen(n+\frac{1}{2})-sen(n-\frac{1}{2})=2\cdot sen\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot cos\left(\dfrac{2n}{2}\right)\\\\\\\boxed{\boxed{sen\left(n+\frac{1}{2}\right)-sen\left(n-\frac{1}{2}\right)=2\cdot sen\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot cos(n)}}
_______________________

\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{k}cos(n)

Multiplicando e dividindo a série por 2\cdot sen(\frac{1}{2}):

\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{k}cos(n)=\dfrac{2sen(\frac{1}{2})}{2sen(\frac{1}{2})}\sum\limits_{n=0}^{k}cos(n)\\\\\\\sum\limits_{n=0}^{k}cos(n)=\dfrac{1}{2sen(\frac{1}{2})}\sum\limits_{n=0}^{k}2sen\left(\frac{1}{2}\right)cos(n)

Como vimos, 2sen(\frac{1}{2})cos(n)=sen(n+\frac{1}{2})-sen(n-\frac{1}{2}):

\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{k}cos(n)=\dfrac{1}{2sen(\frac{1}{2})}\sum\limits_{n=0}^{k}\left[sen\left(n+\frac{1}{2}\right)-sen\left(n-\dfrac{1}{2}\right)\right]

Expandindo o somatório, temos

[sen(\frac{1}{2})-sen(-\frac{1}{2})]+[sen(\frac{3}{2})-sen(\frac{1}{2})]+[sen(\frac{5}{2})-sen(\frac{3}{2})]+...\\+[sen(k-\frac{1}{2})-sen(k-\frac{3}{2})]+[sen(k+\frac{1}{2})-sen(k-\frac{1}{2})]\\\\=-sen(-\frac{1}{2})+[sen(\frac{1}{2}-sen(\frac{1}{2})]+[sen(\frac{3}{2})-sen(\frac{3}{2})]+...\\+[sen(k-\frac{1}{2})-sen(k-\frac{1}{2})]+sen(k+\frac{1}{2})\\\\=-sen(-\frac{1}{2})+sen(k+\frac{1}{2})

Sabendo que -sen(-\frac{1}{2})=-(-1)sen(\frac{1}{2})=sen(\frac{1}{2}), temos que

\boxed{\boxed{\sum\limits_{n=0}^{k}sen\left(n+\dfrac{1}{2}\right)-sen\left(n-\dfrac{1}{2}\right)=sen\left(\dfrac{1}{2}\right)+sen\left(k+\dfrac{1}{2}\right)}}

Voltando e substituindo o somatório na expressão:

\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{k}cos(n)=\dfrac{1}{2sen(\frac{1}{2})}\sum\limits_{n=0}^{k}\left[sen\left(n+\frac{1}{2}\right)-sen\left(n-\dfrac{1}{2}\right)\right]\\\\\\\sum\limits_{n=0}^{k}cos(n)=\dfrac{1}{2sen(\frac{1}{2})}\cdot\left[sen\left(\frac{1}{2}\right)+sen\left(k+\dfrac{1}{2}\right)\right]\\\\\\\boxed{\boxed{\sum\limits_{n=0}^{k}cos(n)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{sen(k+\frac{1}{2})}{2sen(\frac{1}{2})}}}

Lukyo: Ah, deixa para lá. Já entendi. Você fez a distributiva e cancelou os fatores comuns.
Niiya: Isso, economizei essa parte pois as frações estavam ficando grandes por causa do displaystyle
Niiya: Pode ser que o gabarito esteja mais simplificado que a minha resposta
Lukyo: Talvez se vc utilizasse a função cossecante economizasse mais caracteres para evitar as frações com o seno no denominador.
Niiya: É verdade, mas a parte que mais me incomoda é a expansão, ficou bem feia :/
Lukyo: Olhe a última questão que eu postei. Depois de resolvê-la, pode utilizá-la como teorema para fazer qualquer questão desse tipo, sem precisar expandir.
Lukyo: Como eu disse, me lembra muito o Teorema Fundamental do Cálculo e o processo de encontrar primitivas de funções.
Lukyo: Nâo se preocupe com a estética, eu entendi o que foi escrito.
Niiya: Sim! Mais uma "interseção" entre séries e o estudo de funções
Niiya: Ah, que bom! Vou ver a outra questão
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