Question

(50 PONTOS) Mostre que dado um natural $\mathsf{n\ \textgreater \ 0}$ qualquer, o resultado da divisão de

$\mathsf{\big[(9n-1)\cdot 10^{n+1}\big]}$ por $\mathsf{81}$

sempre deixa $\mathsf{71}$ como resto.
$~$

Answer 1

Usaremos um caminho (bastante) diferente do usual

Temos a seguinte informação (veja a prova no PDF anexo):

$\boxed{\boxed{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot\beta^{k}=\dfrac{\beta^{k}}{(\beta-1)^{2}}\bigg[(\beta-1)k-\beta\bigg]\bigg|_{k=1}^{k=n+1}~~\forall~n\ge1,~\beta\neq1}}$

Tomando $\beta=10$, temos

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{10^{k}}{(10-1)^{2}}\bigg[(10-1)k-10\bigg]\bigg|_{k=1}^{k=n+1}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{10^{k}}{81}\bigg[9k-10\bigg]\bigg|_{k=1}^{k=n+1}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{1}{81}\bigg[10^{n+1}(9[n+1]-10)-10^{1}(9\cdot1-10)\bigg]\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{1}{81}\bigg[10^{n+1}(9n+9-10)-10(-1)\bigg]\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{1}{81}\bigg[(9n-1)10^{n+1}+10\bigg]$

Porém, $\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}$ é um número inteiro, pois é a soma de $n$ números inteiros (já que $k\in[1,n]\cap\mathbb{Z}$ e $10^{k}\in\mathbb{Z}~\forall~k\in\mathbb{Z}$, e o produto de números inteiros é um número inteiro). Logo,

$\displaystyle\dfrac{1}{81}\bigg[(9n-1)10^{n+1}+10}\bigg]=\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=s\in\mathbb{Z}$

Portanto

$(9n-1)10^{n+1}+10=81s$

Como $s$ é inteiro, então, por definição, $81|[(9n-1)10^{n+1}+10]$, ou, equivalentemente, $(9n-1)10^{n+1}+10\equiv0\,(\mathtt{mod}~81)$

$(9n-1)10^{n+1}+10\equiv0\,(\mathtt{mod}~81)~\Leftrightarrow\\\\(9n-1)10^{n+1}\equiv-10\,(\mathtt{mod}~81)$

Note que $-10\equiv71\,(\mathtt{mod}~81)$, pois $81|(-10-71)$. Portanto, pela propriedade transitiva da congruência,

$(9n-1)10^{n+1}\equiv71\,(\mathtt{mod}~81)$

Existe um teorema da parte de congruências que diz que $a\equiv b\,(\mathtt{mod}~m)$ se e somente se $a$ deixa o mesmo resto que $b$ na divisão por $m$

Como o resto da divisão de $71$ por $81$ é $71$, pois $71=81\cdot0+71$, então $(9n-1)10^{n+1}$ deixa resto $71$ na divisão por $81~\forall~n\ge1$.

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