Question

(50 PONTOS) Mostre que a seguinte sequência é divergente.

Razão do produto dos pares pelo produto dos ímpares:

$a_{n}=\dfrac{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots\cdot (2n)}{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}\;,\;\;\;\;\;\;n=1,\,2,\,3,\,\ldots$

Answer 1

$a_n=\dfrac{4^n\cdot (n!)^2}{(2n)!}\\ \\ \\ \text{Sea }b_n=\dfrac{1}{a_n}\text{ entonces consideremos la siguiente sumatoria } \\ \\ \\\displaystyle S_n=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\\ \\ \\ L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\\ \\ \\ L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{(2n+2)!}{4^{n+1}\cdot [(n+1)!]^2}\times\dfrac{4^n\cdot (n!)^2}{(2n)!}\\ \\ \\ L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n+2}{4\cdot (n+1)^2}\\ \\ \\ L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{2\cdot (n+1)}\\ \\ \\ L=0\\ \\ \text{por ende }\lim_{n\to \infty}b_n=0$

Ahora la pregunta es ¿Se podrá concluir que $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\infty$ o inclusive que no exista tal límite?