Question

(50 pontos) Encontre os valores que k deve assumir de forma que o sistema

$\large\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{2x-y+5=k}\\\\ \mathsf{x^2+y^2+z^2=30} \end{array} \right.$

assuma solução única nas variáveis x, y, z (para cada valor de k).


Tags: sistema de equações não linear parâmetro solução única álgebra

Answer 1

Sabemos que $x^{2}+y^{2}+z^{2}=30$ é a equação cartesiana de uma esfera com centro na origem e raio $r=\sqrt{30}$

Já $2x-y+5=k$ é a equação de um plano (perpendicular ao plano xy):

$2x-y+5=k~~\Leftrightarrow~~2x-y=k-5~~\Leftrightarrow~~(2,-1,0)\cdot(x,y,z)=k-5$

Um vetor normal ao plano é dado por $(2,-1,0)$, e esse possui representante no plano xy (é paralelo ao plano xy), logo o plano dado por essa equação é um plano perpendicular ao plano xy (ou paralelo ao eixo z), e, para $k\neq5$, o plano não intercepta o eixo z.

Nesse sentido, podemos trabalhar com as projeções no plano xy, e encontrar $k$ tal que o sistema

$\begin{cases}2x-y+5=k~~~~~~\mathtt{(i)}\\x^{2}+y^{2}=30~~~~~~~~\mathtt{(ii)}\end{cases}$

possui solução única. A primeira equação desse sistema é a equação de uma reta em $\mathbb{R}^{2}$ e a segunda é a equação de uma circunferência de centro na origem e raio $\sqrt{30}$.

Isolando $y$ em $\mathtt{(i)}$:

$2x-y+5=k~~~\Leftrightarrow~~~y=2x+5-k$

Substituindo em $\mathtt{(ii)}$:

$x^{2}+y^{2}=30\\\\x^{2}+(2x+5-k)^{2}=30\\\\x^{2}+(2x)^{2}+2\cdot2x\cdot(5-k)+(5-k)^{2}=30\\\\5x^{2}+\big[4(5-k)\big]x+\big[(5-k)^{2}-30\big]=0$

Podemos encarar essa equação como uma equação quadrática em $x$, que possuirá solução única s.s.e $\Delta=0$

$\Delta=b^{2}-4ac\\\\\Delta=[4(5-k)]^{2}-4\cdot5\cdot[(5-k)^{2}-30]\\\\\Delta=16(5-k)^{2}-20(5-k)^{2}+600\\\\\Delta=-4(k-5)^{2}+600$

Igualando $\Delta=0$:

$-4(k-5)^{2}+600=0\\\\4(k-5)^{2}=600\\\\(k-5)^{2}=150=(3\cdot5)\cdot10\\\\(k-5)^{2}=3\cdot5\cdot2\cdot5\\\\(k-5)^{2}=2\cdot3\cdot5^{2}\\\\\sqrt{(k-5)^{2}}=\sqrt{6\cdot5^{2}}\\\\|k-5|=5\sqrt{6}$

Daí, tiramos que

$k-5=-5\sqrt{6}~~~\Leftrightarrow~~~\boxed{\boxed{k=5-5\sqrt{6}}}\\\\k-5=5\sqrt{6}~~~\Leftrightarrow~~~\boxed{\boxed{k=5+5\sqrt{6}}}$

são os valores de $k$ que fazem com que o sistema possua solução única em $x,\,y,\,z$