Question

50 Pontos!!!

[Desafio]

A partir da figura mostre que é válida a igualdade :

$\boxed{\mathsf{a = b\cdot \dfrac{sen~\^A}{sen~\^B}}}$

(Responda seriamente, por favor ^^)

Answer 1

Esta tarefa pede para mostrar uma parte da Lei dos Senos em um triângulo qualquer.

Considere o triângulo  ABC  em anexo a esta resposta.

Trace a altura  CM  em relação ao lado  AB  do triângulo  ABC.  Assim, você obtém dois triângulos retângulos:  AMC  e  BMC,  ambos retângulos em  M.

Seja  h  a medida da altura  CM.  Agora é só aplicar as relações trigonométricas aos dois triângulos retângulos que obtivemos.


•   No triângulo  AMC:

Calculando o seno de $\mathsf{\widehat A:}$

     $\mathsf{sen\,\widehat A}=\dfrac{\textsf{cateto oposto ao \^angulo }\mathsf{\widehat{A}}}{\textsf{hipotenusa do tri\^angulo AMC}}\\\\\\ \mathsf{sen\,\widehat A=\dfrac{med(CM)}{med(AC)}}\\\\\\ \mathsf{sen\,\widehat A=\dfrac{h}{b}}\\\\\\ \mathsf{h=b\,sen\,\widehat A\qquad\quad(i)}$


•   No triângulo  BMC:

Calculando o seno de $\mathsf{\widehat B:}$

     $\mathsf{sen\,\widehat B}=\dfrac{\textsf{cateto oposto ao \^angulo }\mathsf{\widehat{B}}}{\textsf{hipotenusa do tri\^angulo BMC}}\\\\\\ \mathsf{sen\,\widehat B=\dfrac{med(CM)}{med(BC)}}\\\\\\ \mathsf{sen\,\widehat B=\dfrac{h}{a}}\\\\\\ \mathsf{h=a\,sen\,\widehat B\qquad\quad(ii)}$


Por  (i)  e  (ii),  tiramos que

     $\mathsf{b\,sen\,\widehat A=a\,sen\,\widehat B}\\\\\\ \mathsf{a=b\cdot \dfrac{sen\,\widehat A}{sen\,\widehat B}}$

como queríamos demonstrar.


Bons estudos! :-)

Answer 2

nouza aleki, pergunta de 2017 ;-; mas vlw pelos pontos :D