Question

(50 pontos) Dada uma sequência numérica $\mathsf{(a_n)_{n\in \mathbb{N}^*},}$ ela é dita sequência crescente se,

para todo $\mathsf{n\in\mathbb{N}^*,}$ tivermos $\mathsf{a_{n+1}\ \textgreater \ a_n}$.


Usando a definição acima, mostre que a sequência cuja lei é

$\mathsf{a_n=2^n}\qquad\quad\textsf{com }\mathsf{n\in \mathbb{N}^*}$

é uma sequência crescente.


Tags: sequência numérica crescente sucessão natural exponencial

Answer 1

Mostrar que $a_{n+1}~\textgreater~a_{n}~~~\forall\,n\in\mathbb{N}$ equivale a mostrar que $a_{n+1}-a_{n}~\textgreater~0~~~\forall\,n\in\mathbb{N}$

Mas

$a_{n+1}-a_{n}=2^{n+1}-2^{n}\\\\a_{n+1}-a_{n}=2^{n}\cdot2^{1}-2^{n}\\\\a_{n+1}-a_{n}=2^{n}\cdot2-2^{n}\cdot1\\\\a_{n+1}-a_{n}=2^{n}\cdot(2-1)\\\\a_{n+1}-a_{n}=2^{n}$

Como $2^{n}=\prod\limits_{i=1}^{n}2$ (produto de $n$ fatores iguais a 2), temos que $2^{n}~\textgreater~0~~~\forall\,n\in\mathbb{N}$

Portanto,

$a_{n+1}-a_{n}=2^{n}~\textgreater~0~~~\forall\,n\in\mathbb{N}~~~\Leftrightarrow~~~\boxed{\boxed{a_{n+1}~\textgreater~a_{n}~~~\forall\,n\in\mathbb{N}}}$

Logo, por definição, a sequência dada é crescente.