Question

(50 PONTOS) Considere a seguinte integral indefinida:
$~$
$\displaystyle\int{(2x^{4}-5x^{2}+k)\,e^{x^{2}}\,dx}$

sendo $k$ uma constante real.

Existe um valor de $k$ de forma que a primitiva encontrada é expressa em termos de funções elementares.

Encontre o valor de $k$ para que isto ocorra e forneça a primitiva encontrada.

Answer 1

Considere a família de funções $f_{k}(x)=x^{k}\cdot e^{x^{2}},~k\in\mathbb{N}$

Fixando k e derivando a função obtida, temos

$f_{k}'(x)=kx^{k-1}e^{x^{2}}+2xe^{x^{2}}x^{k}=[kx^{k-1}+2x^{k+1}]e^{x^{2}}$

Com isso, temos algumas funções e suas derivadas (aplicação da fórmula acima às funções da família):

$\frac{d}{dx}xe^{x^{2}}=(1+2x^{2})e^{x^{2}}\\\\\frac{d}{dx}x^{2}e^{x^{2}}=(2x+2x^{3})e^{x^{2}}\\\\\frac{d}{dx}x^{3}e^{x^{2}}=(3x^{2}+2x^{4})e^{x^{2}}$

Com k = 4 obteríamos um polinômio de grau 5, que não nos interessa.

Nosso objetivo é escrever $(2x^{4}-5x^{2}+k)e^{x^{2}}$ como combinação linear das funções encontradas

Note que

$2x^{4}-5x^{2}+k=(3x^{2}+2x^{4})-3x^{2}-5x^{2}+k\\\\2x^{4}-5x^{2}+k=(3x^{2}+2x^{4})+k-8x^{2}\\\\2x^{4}-5x^{2}+k=(3x^{2}+2x^{4})+(-4)\left[\frac{k}{(-4)}+2x^{2}\right]\\\\\\\boxed{\boxed{(2x^{4}-5x^{2}+k)e^{x^{2}}=(3x^{2}+2x^{4})e^{x^{2}}+(-4)\left[\frac{k}{(-4)}+2x^{2}\right]e^{x^{2}}}}$

Como vimos, $(3x^{2}+2x^{4})e^{x^{2}}$ possui como primitiva a função elementar $x^{3}e^{x^{2}}$

A função $\left[\frac{k}{(-4)}+2x^{2}\right]e^{x^{2}}$ possuirá primitiva elementar apenas se

$\left[\frac{k}{(-4)}+2x^{2}\right]e^{x^{2}}=(1+2x^{2})e^{x^{2}}$

Cancelando $e^{x^{2}}\neq0~\forall~x\in\mathbb{R}$:

$\dfrac{k}{(-4)}+2x^{2}=1+2x^{2}\\\\\\\dfrac{k}{(-4)}=1\\\\\\\boxed{\boxed{k=-4}}$

E, se isso ocorrer, teremos

$\displaystyle\int(2x^{4}-5x^{2}-4)e^{x^{2}}dx=\int(3x^{2}+2x^{4})e^{x^{2}}dx-4\int(1+2x^{2})e^{x^{2}}dx$


$\displaystyle\int(2x^{4}-5x^{2}-4)e^{x^{2}}dx=\int\frac{d}{dx}(x^{3}e^{x^{2}})dx-4\int\frac{d}{dx}(xe^{x^{2}})dx\\\\\\\boxed{\boxed{\int(2x^{4}-5x^{2}-4)e^{x^{2}}dx=(x^{3}-4x)e^{x^{2}}+C}}$