Question

(50 PONTOS) Calcule o resultado da seguinte soma:
$~$
$\mathsf{S=sec(1)sec(2)+sec(2)sec(3)+sec(3)sec(4)+\ldots+sec(99)sec(100)}$

e expresse-o da forma mais simples possível.

Obs.: Os arcos estão em radianos, não em graus.
$~$

Answer 1

Podemos escrever S como um somatório:

$S=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{99}\sec(k)\sec(k+1)$

Note que

$\sec(k)\sec(k+1)=\dfrac{1}{\cos(k)\cos(k+1)}$

A ideia aqui é procurar uma sequência $a_{k}$ tal que

$\sec(k)\sec(k+1)=\dfrac{1}{\cos(k+1)}\cdot\dfrac{1}{\cos(k)}=\dfrac{a_{k+1}}{\cos(k+1)}-\dfrac{a_{k}}{\cos(k)}$

(lembra a ideia de frações parciais usada no cálculo de algumas integrais)

Sendo $a_{k}$ a sequência a ser definida , definimos

$b_{k}=\dfrac{a_{k}}{\cos(k)}$

O operador diferença dessa sequência é dado por

$\Delta(b_{k}):=b_{k+1}-b_{k}=\dfrac{a_{k+1}}{\cos(k+1)}-\dfrac{a_{k}}{\cos(k)}\\\\\\\Delta(b_{k})=\dfrac{a_{k+1}\cos(k)-a_{k}\cos(k+1)}{\cos(k+1)\cos(k)}\\\\\\\Delta(b_{k})=\sec(k+1)\sec(k)\cdot[a_{k+1}\cos(k)-a_{k}\cos(k+1)]$

Queremos achar uma sequência $a_{k}$ de modo que $\Delta(b_{k})=\sec(k+1)\sec(k)$. Para que isso ocorra, devemos ter a seguinte igualdade satisfeita:

$a_{k+1}\cos(k)-a_{k}\cos(k+1)=1$

Note que a expressão da esquerda lembra a forma do seno da diferença de arcos, caso $a_{k}=\mathrm{sen}(k)$. Testando a validade dessa sequência na igualdade:

$a_{k+1}\cos(k)-a_{k}\cos(k+1)=\\\\=\mathrm{sen}(k+1)\cos(k)-\mathrm{sen}(k)\cos(k+1)\\\\=\mathrm{sen}([k+1]-k)\\\\=\mathrm{sen}(1)$

Claramente $\mathrm{sen}(1)\neq1$, mas $\csc(1)\mathrm{sen}(1)=1$, então, se definirmos
$a_{k}=\csc(1)\mathrm{sen}(k)$, temos que

$a_{k+1}\cos(k)-a_{k}\cos(k+1)=\\\\=\csc(1)\mathrm{sen}(k+1)\cos(k)-\csc(1)\mathrm{sen}(k)\cos(k+1)\\\\=\csc(1)\cdot[\mathrm{sen}(k+1)\cos(k)-\mathrm{sen}(k)\cos(k+1)]\\\\=\csc(1)\cdot\mathrm{sen}(1)=1$

como queríamos.

Logo,

$b_{k}=\dfrac{a_{k}}{\cos(k)}=\dfrac{\csc(1)\,\mathrm{sen}(k)}{\cos(k)}=\csc(1)\,\mathrm{tg}(k)$

tem operador de diferença

$\Delta(b_{k})=b_{k+1}-b_{k}=\sec(k)\sec(k+1)$

Portanto:

$S=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{99}\sec(k)\sec(k+1)\\\\\\S=\sum\limits_{k=1}^{99}\Delta(b_{k})\\\\\\S=b_{99+1}-b_{1}\\\\S=b_{100}-b_{1}\\\\S=\csc(1)\mathrm{tg}(100)-\csc(1)\mathrm{tg}(1)\\\\\boxed{\boxed{S=\csc(1)\cdot[\mathrm{tg}(100)-\mathrm{tg}(1)]}}$