Matemática, perguntado por Lukyo, 1 ano atrás

(50 PONTOS) Calcule o resultado da seguinte soma:
~
\mathsf{S=sec(1)sec(2)+sec(2)sec(3)+sec(3)sec(4)+\ldots+sec(99)sec(100)}

e expresse-o da forma mais simples possível.

Obs.: Os arcos estão em radianos, não em graus.
~

Soluções para a tarefa

Respondido por Niiya
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Podemos escrever S como um somatório:

S=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{99}\sec(k)\sec(k+1)

Note que

\sec(k)\sec(k+1)=\dfrac{1}{\cos(k)\cos(k+1)}

A ideia aqui é procurar uma sequência a_{k} tal que

\sec(k)\sec(k+1)=\dfrac{1}{\cos(k+1)}\cdot\dfrac{1}{\cos(k)}=\dfrac{a_{k+1}}{\cos(k+1)}-\dfrac{a_{k}}{\cos(k)}

(lembra a ideia de frações parciais usada no cálculo de algumas integrais)

Sendo a_{k} a sequência a ser definida , definimos

b_{k}=\dfrac{a_{k}}{\cos(k)}

O operador diferença dessa sequência é dado por

\Delta(b_{k}):=b_{k+1}-b_{k}=\dfrac{a_{k+1}}{\cos(k+1)}-\dfrac{a_{k}}{\cos(k)}\\\\\\\Delta(b_{k})=\dfrac{a_{k+1}\cos(k)-a_{k}\cos(k+1)}{\cos(k+1)\cos(k)}\\\\\\\Delta(b_{k})=\sec(k+1)\sec(k)\cdot[a_{k+1}\cos(k)-a_{k}\cos(k+1)]

Queremos achar uma sequência a_{k} de modo que \Delta(b_{k})=\sec(k+1)\sec(k). Para que isso ocorra, devemos ter a seguinte igualdade satisfeita:

a_{k+1}\cos(k)-a_{k}\cos(k+1)=1

Note que a expressão da esquerda lembra a forma do seno da diferença de arcos, caso a_{k}=\mathrm{sen}(k). Testando a validade dessa sequência na igualdade:

a_{k+1}\cos(k)-a_{k}\cos(k+1)=\\\\=\mathrm{sen}(k+1)\cos(k)-\mathrm{sen}(k)\cos(k+1)\\\\=\mathrm{sen}([k+1]-k)\\\\=\mathrm{sen}(1)

Claramente \mathrm{sen}(1)\neq1, mas \csc(1)\mathrm{sen}(1)=1, então, se definirmos
a_{k}=\csc(1)\mathrm{sen}(k), temos que

a_{k+1}\cos(k)-a_{k}\cos(k+1)=\\\\=\csc(1)\mathrm{sen}(k+1)\cos(k)-\csc(1)\mathrm{sen}(k)\cos(k+1)\\\\=\csc(1)\cdot[\mathrm{sen}(k+1)\cos(k)-\mathrm{sen}(k)\cos(k+1)]\\\\=\csc(1)\cdot\mathrm{sen}(1)=1

como queríamos.

Logo,

b_{k}=\dfrac{a_{k}}{\cos(k)}=\dfrac{\csc(1)\,\mathrm{sen}(k)}{\cos(k)}=\csc(1)\,\mathrm{tg}(k)

tem operador de diferença

\Delta(b_{k})=b_{k+1}-b_{k}=\sec(k)\sec(k+1)

Portanto:

S=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{99}\sec(k)\sec(k+1)\\\\\\S=\sum\limits_{k=1}^{99}\Delta(b_{k})\\\\\\S=b_{99+1}-b_{1}\\\\S=b_{100}-b_{1}\\\\S=\csc(1)\mathrm{tg}(100)-\csc(1)\mathrm{tg}(1)\\\\\boxed{\boxed{S=\csc(1)\cdot[\mathrm{tg}(100)-\mathrm{tg}(1)]}}

Lukyo: Whoa! Ultra, super, mega, power perfeito! ^^D
Niiya: Obrigado (pela ajuda também) :DD
Lukyo: ^^D
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