Question

50 pontos :)
Calcule o limite:
$\lim_{x \to \ 1 } \frac{\sqrt{3x^3-5x+6}-2}{ \sqrt[3]{x^2-3x+1}+1 }$
Tentei resolver usando a identidade (a+b)(-a^2+ab-b^2)=-a^3-b^3
No entanto a resposta é 5/3

Answer 1

Olá Yara,


Note que se substituirmos x por 1 nessa equação, iremos obter uma indeterminação.

Nesses casos precisamos usar artifícios algébricos para nos livrarmos dessa indeterminação.

Para evitar que a conta fique grande, irei separar o numerador e o denominador e depois colocarei os dois juntos novamente.

Para nos livrarmos do radical no numerador, basta usar o produto notável da diferença do dois quadrados: (a + b) . (a - b) = a² - b²

Aplicando a propriedade temos:

$\mathsf{(\sqrt{3x^3-5x+6}-2)\cdot\dfrac{(\sqrt{3x^3-5x+6}+2)}{(\sqrt{3x^3-5x+6}+2)}\Rightarrow \dfrac{3x^3-5x+6-4}{\sqrt{3x^3-5x+6}+2}}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{3x^3-5x+2}{\sqrt{3x^3-5x+6}+2}}$

Perceba que se somarmos os coeficientes do numerador resultará em 0. Temos então que 1 é uma de suas raízes. Vamos dividir então pela sua raiz pra conseguir sua forma fatorada:

 3x³ - 5x +2    |_(x -1)_
-3x³ + 3x²         3x² + 3x - 2 
 3x² - 5x + 2
-3x² + 3x
-2x + 2 
 2x - 2   
    0

Temos então:

$\mathsf{\dfrac{(3x^2+3x-2)\cdot(x-1)}{\sqrt{3x^3-5x+6}+2}}$

Agora aplicando a propriedade da soma de dois cubos no denominador:
(a + b) . (a² - ab + b²) = (a³ + b³)

$\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1}}+1}\cdot\dfrac{[(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1}})^2-(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1})}+1)]}{[(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1}})^2-(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1})}+1)]}}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{[(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1}})^2-(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1})}+1]}{x^2-3x+2}}$

Usando soma e produto no denominador, veremos que suas raízes serão: 1 e 2:

$\mathsf{\dfrac{[(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1}})^2-(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1})}+1]}{(x-1)\cdot(x-2)}}$

Unindo as duas equações:

$\mathsf{\dfrac{(3x^2+3x-2)\cdot(x-1)}{\sqrt{3x^3-5x+6}+2}}\cdot\mathsf{\dfrac{[(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1}})^2-(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1})}+1]}{(x-1)\cdot(x-2)}}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{(3x^2+3x-2)\cdot[(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1}})^2-(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1}})+1]}{(\sqrt{3x^3-5x+6}+2)\cdot(x-2)}}$

Calculando o limite:

$\mathsf{\lim_{x\to1}\dfrac{(3.x^2+3.x-2)\cdot[(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1}})^2-(\sqrt[3]{\mathsf{x^2-3x+1}})+1]}{(\sqrt{3x^3-5x+6}+2)\cdot(x-2)}}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{(4)\cdot[(\sqrt[3]{\mathsf{-1}})^2-(\sqrt[3]{\mathsf{-1}})+1]}{(\sqrt{4}+2)\cdot(-1)}\Rightarrow}\mathsf{\dfrac{(4)\cdot[1-(-1)+1]}{(2+2)\cdot(-1)}\Rightarrow}\mathsf{\dfrac{4\cdot3}{-4}}=\boxed{\mathsf{-3}}$


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