Question

[50 Pontos] Calcule as raízes quadradas dos números complexos a seguir:

a) 4i
b) 4 + 3i

Answer 1

Fórmula trigonométrica de um número $\mathsf{Z \ \in \ \mathbb{C} \ | \ Z \ = \ a \ + \ b\cdot \ i \ \rightarrow}$

$\mathsf{Z \ = \ |Z| \ \cdot \ (cos(\theta) \ + \ i \ \cdot \ sen(\theta))}$

Onde $\mathsf{|Z|}$ é o módulo (distância do complexo à origem do plano de Argand-Gauss, maior ou igual a $\mathsf{0}$) e $\mathsf{\theta}$ é o argumento (ângulo entre o módulo e o eixo real -  $\mathsf{x}$).

Para tanto... 

$\mathsf{|Z| \ = \ \sqrt{a^2 \ + \ b^2}}$, $\mathsf{cos(\theta) \ = \ \dfrac{a}{|Z|}}$ e $\mathsf{sen(\theta) \ = \ \dfrac{b}{|Z|}}$.

Assim, poderemos trabalhar melhor as potências e raízes de um complexo... de uma forma geral, usaremos a fórmula de De Moivre :

$\boxed{\mathsf{Z^n \ = \ |Z|^n \ \cdot \ (cos(n \ \cdot \ \theta) \ + \ i \ \cdot \ sen(n \ \cdot \ \theta))}}$

Regra geral :

Para $\mathsf{Z^x \ = \ y}$, o argumento tem a sua parcela $\mathsf{K}$ "preenchida" de $\mathsf{0}$ a $\mathsf{x \ - \ 1}$, completando $\mathsf{x}$ voltas trigonométricas.

$\mathsf{a) \ Z_1 \ = \ 4 \ \cdot \ i \ \ (a_1 \ = \ 0, \ b_1 \ = \ 4)}$

$\mathsf{|Z|_1 \ = \ \sqrt{\underbrace{\mathsf{0^2}}_{a_1^2} \ + \ \underbrace{\mathsf{16}}_{b_1^2}} \ \therefore \ \boxed{\mathsf{|Z|_1 \ = \ 4}}}$

$\bullet \ \mathsf{cos(\theta_1) \ = \ \dfrac{0}{4} \ \rightarrow \ cos(\theta_1) \ = \ 0} \\ \\ \\ \bullet \ \mathsf{sen(\theta_1) \ = \ \dfrac{4}{4} \ \rightarrow \ sen(\theta_1) \ = \ 1}$

Logo, $\mathsf{\theta_1 \ = \ \dfrac{\pi}{2} \ + \ 2 \cdot K \cdot \pi, \ K \ \in \ \matbb{N}}$

$\mathsf{Z_1 \ = \ \overbrace{\mathsf{4}}^{|Z|} \ \cdot \ \big(cos(\frac{\pi}{2} \ + \ 2 \cdot K \cdot \pi) \ + \ i \ \cdot \ sen(\frac{\pi}{2} \ + \ 2 \cdot K \cdot \pi)}$

Vamos aplicar então De Moivre...

$\mathsf{\sqrt{Z_1} \ = \ Z_1^{^{\frac{1}{2}}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{Z_1^{^{\frac{1}{2}}} \ = \ 4^{^{\frac{1}{2}}} \ \cdot \ (cos(\frac{1}{2} \ \cdot \ (\frac{\pi}{2} \ + \ 2 \cdot K \cdot \pi)) \ + \ sen(\frac{1}{2} \ \cdot \ (\frac{\pi}{2} \ + \ 2 \cdot K \cdot \pi)) \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{{Z_1^{^{\frac{1}{2}}} \ = \ 2 \ \cdot \ \bigg(cos \bigg(\frac{\pi}{4} \ + \ K \cdot \pi\bigg) \ + \ i \ \cdot \ sen\bigg(\frac{\pi}{4} \ + \ K \cdot \pi\bigg)\bigg)}, \ K \ = \ 0,1}}$

Logo : 

$\boxed{\boxed{\mathsf{\sqrt{Z_1} \ = \ \underbrace{\mathsf{\sqrt{2} \ + i \ \cdot \sqrt{2}}}_{K \ = \ 0}, \ \underbrace{\mathsf{- \sqrt{2} \ - \ i \ \cdot \sqrt{2}}}_{K \ = \ 1}}}}$


$\mathsf{b) \ Z_2 \ = \ 4 \ + \ 3 \ \cdot \ i \ \ (a_2 \ = \ 4, \ b_2 \ = \ 3)}$

$\mathsf{|Z|_2 \ = \ \sqrt{\underbrace{\mathsf{16}}_{a_2^2} \ + \ \underbrace{\mathsf{9}}_{b_2^2}} \ \therefore \ \boxed{\mathsf{|Z|_2 \ = \ 5}}}$

$\bullet \ \mathsf{cos(\theta_2) \ = \ \dfrac{4}{5}} \\ \\ \\ \bullet \ \mathsf{sen(\theta_2) \ = \ \dfrac{3}{5}}$

Logo, tal ângulo não é notável... ele é $\mathsf{arcsen(\frac{3}{5}), \ arccos(\frac{4}{5})}$ e aproximando é $\mathsf{37^\circ \ + \ 360^\circ \ \cdot \ K}$, mas deixaremos mesmo como $\mathsf{\theta_2}$.

$\mathsf{\sqrt{Z_2} \ = \ Z_2^{^{\frac{1}{2}}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{Z_2^{^{\frac{1}{2}}} \ = \ 5^{^{\frac{1}{2}}} \ \cdot \ (cos(\frac{1}{2} \ \cdot \ (\theta_2 \ + \ 2 \cdot K \cdot \pi)) \ + \ sen(\frac{1}{2} \ \cdot \(\theta_2 \ + \ 2 \cdot K \cdot \pi))} \ \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{Z_2^{^{\frac{1}{2}}} \ = \ \sqrt{5} \ \cdot \ \bigg(cos\bigg(\frac{\theta_2}{2} \ + \ K \cdot \pi \bigg) \ + \ \bigg(sen\bigg(\frac{\theta_2}{2} \ + \ K \cdot \pi \bigg)\bigg)}}}$

Com mais uma vez $\mathsf{K}$ sendo $\mathsf{0,1}$.