Question

*50 PONTOS*
A soma dos valores de x que formam a solução de $\frac{16^x+64}{5}=4^{x+1}$ é:

Answer 1

Oi Raellzin.

Segue abaixo a resolução da questão:

$--\ \textgreater \ \frac{ 16^{x} + 64}{5} = 4^{x + 1} --\ \textgreater \ \frac{(4^{2})^{x} +64}{5} = 4.4^{x} \\ \\ --\ \textgreater \ (4^{x} )^{2} +64 = 5.4. 4^{x}--\ \textgreater \ (4^{x} )^{2} +64 = 20. 4^{x}$

Substituindo $4^{x} = y$ , temos que:

$--\ \textgreater \ (4^{x})^{2} + 64 = 20. 4^{x} --\ \textgreater \ y^{2} + 64 = 20y-\ \textgreater \ y^{2} - 20y + 64 = 0 \\ \\ D = b^{2} - 4ac --\ \textgreater \ D = (-20)^{2} - 4.1.64 --\ \textgreater \ Delta = 144 \\ \\ Bhaskara : \frac{-b + - \sqrt{Delta} }{2a} --\ \textgreater \ \frac{-(-20) + - \sqrt{144} }{2.1}--\ \textgreater \ \frac{20 + - 12}{2} \\ \\ y1 = 16 \\ y2 = 4$

Retomando a substituição feita acima $4^{x} = y$ , temos que os valores de "x" são:

$--\ \textgreater \ 4^{x1} = y1 --\ \textgreater \ 4^{x1} = 16 --\ \textgreater \ 4^{x1} = 4^{2} ==\ \textgreater \ x1 = 2 \\ \\ --\ \textgreater \ 4^{x2} = y2 --\ \textgreater \ 4^{x2} = 4 --\ \textgreater \ 4^{x2} = 4^{1} ==\ \textgreater \ x2 = 1$

Achadas as raízes x1 = 2 e x2 = 1, então, a soma dos valores de "x" é:

Soma = x1 + x2 --> Soma = 2 + 1 ==> Soma = 3 #

É isso, tenha uma boa tarde :)