Question

50 PONTOS

04) A área do triângulo que tem um lado na reta r: 5x + 2y - 7 = 0, uma mediana
na reta s : 2x + 3y - 5 = 0 e um dos vértices no ponto A = (4,2) é correspondente a
aproximadamente 7 u.a ?
R: 153/22 u.a ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

04) Verdadeira

$\sf r:~5x+2y-7=0$

$\sf 5\cdot4+2\cdot2-7=0$

$\sf 20+4-7=0$

$\sf 17=0$

Falso

Assim, o ponto A não pertence à reta r

$\sf s:~2x+3y-5=0$

$\sf 2\cdot4+3\cdot2-5=0$

$\sf 8+6-5=0$

$\sf 9=0$

Falso

O ponto A não pertence à reta s. Seja B a interseção das retas r e s. B é um dos vértices do triângulo. Sejam C o terceiro vértice e M o ponto médio de AC. Desse modo, a mediana pertence à reta s e o lado BC pertence à reta r

=> Ponto B

$\sf r:~5x+2y-7=0$

$\sf 2y=7-5x$

$\sf y=\dfrac{7-5x}{2}$

Substituindo na equação da reta s:

$\sf 2x+3y-5=0$

$\sf 2x+3\cdot\Big(\dfrac{7-5x}{2}\Big)-5=0$

$\sf 2x+\dfrac{21}{2}-\dfrac{15x}{2}-5=0$

$\sf 2\cdot2x+21-15x-2\cdot5=0$

$\sf 4x+21-15x-10=0$

$\sf 15x-4x=21-10$

$\sf 11x=11$

$\sf x=\dfrac{11}{11}$

$\sf x=1$

Substituindo na equação da reta s:

$\sf 2x+3y-5=0$

$\sf 2\cdot1+3y-5=0$

$\sf 2+3y-5=0$

$\sf 3y-3=0$

$\sf 3y=3$

$\sf y=\dfrac{3}{3}$

$\sf y=1$

Logo, $\sf B(1,1)$

=> Ponto C

• O ponto C pertence à reta r:

$\sf 5x+2y-7=0$

$\sf 5x_C+2y_C-7=0$

$\sf 5x_C+2y_C=7~~~~(i)$

• O ponto M pertence à reta s:

$\sf 2x+3y-5=0$

$\sf 2x_M+3y_M-5=0$

$\sf 2x_M+3y_M=5$

Como M é ponto médio de AC, temos:

• $\sf x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}$

$\sf x_M=\dfrac{4+x_C}{2}$

$\sf 4+x_C=2x_M$

$\sf x_C=2x_M-4$

• $\sf y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}$

$\sf y_M=\dfrac{2+y_C}{2}$

$\sf 2+y_C=2y_M$

$\sf y_C=2y_M-2$

Substituindo em (i):

$\sf 5x_C+2y_C=7$

$\sf 5\cdot(2x_M-4)+2\cdot(2y_M-2)=7$

$\sf 10x_M-20+4y_M-4=7$

$\sf 10x_M+4y_M=7+4+20$

$\sf 10x_M+4y_M=31$

Podemos montar o sistema:

$\sf \begin{cases} \sf 2x_M+3y_M=5 \\ \sf 10x_M+4y_M=31 \end{cases}$

Multiplicando a primeira equação por $\sf -5$:

$\sf \begin{cases} \sf 2x_M+3y_M=5~~\cdot(-5) \\ \sf 10x_M+4y_M=31 \end{cases}~\Rightarrow~\begin{cases} \sf -10x_M-15y_M=-25 \\ \sf 10x_M+4y_M=31 \end{cases}$

Somando as equações:

$\sf -10x_M+10x_M-15y_M+4y_M=-25+31$

$\sf -11y_M=6~~~\cdot(-1)$

$\sf 11y_M=-6$

$\sf y_M=\dfrac{-6}{11}$

Substituindo na primeira equação:

$\sf 2x_M+3y_M=5$

$\sf 2x_M+3\cdot\Big(\dfrac{-6}{11}\Big)=5$

$\sf 2x_M-\dfrac{18}{11}=5$

$\sf 11\cdot2x_M-18=11\cdot5$

$\sf 22x_M-18=55$

$\sf 22x_M=55+18$

$\sf 22x_M=73$

$\sf x_M=\dfrac{73}{22}$

Logo, $\sf M\Big(\dfrac{73}{22},\dfrac{-6}{11}\Big)$

Assim:

• $\sf x_C=2x_M-4$

$\sf x_C=2\cdot\dfrac{73}{22}-4$

$\sf x_C=\dfrac{146}{22}-4$

$\sf x_C=\dfrac{73}{11}-4$

$\sf x_C=\dfrac{73-44}{11}$

$\sf x_C=\dfrac{29}{11}$

• $\sf y_C=2y_M-2$

$\sf y_C=2\cdot\Big(\dfrac{-6}{11}\Big)-2$

$\sf y_C=\dfrac{-12}{11}-2$

$\sf y_C=\dfrac{-12-22}{11}$

$\sf y_C=\dfrac{-34}{11}$

Logo, $\sf C\Big(\dfrac{29}{11},\dfrac{-34}{11}\Big)$

=> Área do triângulo ABC

$\sf D=\Big|\begin{array}{ccc} \sf x_A & \sf y_A & \sf 1 \\ \sf x_B & \sf y_B & 1 \\ \sf x_C & \sf y_C & \sf 1 \end{array}\Big|$

$\sf D=\Big|\begin{array}{ccc} \sf 4 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 1 & \sf 1 & 1 \\ \sf \frac{29}{11} & \sf \frac{-34}{11} & \sf 1 \end{array}\Big|$

$\sf D=4\cdot1\cdot1+2\cdot1\cdot\dfrac{29}{11}+1\cdot1\cdot\Big(\dfrac{-34}{11}\Big)-\dfrac{29}{11}\cdot1\cdot-\Big(\dfrac{-34}{11}\Big)\cdot1\cdot4-1\cdot1\cdot2$

$\sf D=4+\dfrac{58}{11}-\dfrac{34}{11}-\dfrac{29}{11}+\dfrac{136}{11}-2$

$\sf D=\dfrac{58-34-29+136}{11}+2$

$\sf D=\dfrac{131}{11}+2$

$\sf D=\dfrac{131+22}{11}$

$\sf D=\dfrac{153}{11}$

A área do triângulo ABC é:

$\sf A=\dfrac{|~D~|}{2}$

$\sf A=\dfrac{\Big|~\frac{153}{11}~\Big|}{2}$

$\sf A=\dfrac{~\frac{153}{11}~}{2}$

$\sf A=\dfrac{153}{11}\cdot\dfrac{1}{2}$

$\sf \red{A=\dfrac{153}{22}~u.a.}$