Question

50 PONTOS .

√0,999…+ √0,444… / 1 + 0,424242… = 55/141 ?

Mostre a resolução por favor

Answer 1

É necessário encontrar a fração geratriz das dízimas periódicas. Pelo método prático temos:

$0,9999\ldots=\dfrac{9}{9}=1$ (pode parecer estranho, mas $0,9999\ldots$ é o mesmo que um.

$0,4444\ldots=\dfrac{4}{9}$

$0,424242\ldots=\dfrac{42}{99}=\dfrac{14}{33}$ 

Reescrevendo a expressão do enunciado, mas usando os valores em fração teremos:

$\dfrac{\sqrt{1}+\sqrt{\dfrac{4}{9}}}{1+\dfrac{14}{33}}$
$\dfrac{1+\dfrac{2}{3}}{1+\dfrac{14}{33}}$
$\dfrac{\dfrac{3+2}{3}}{\dfrac{33+14}{33}}$
$\dfrac{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{47}{33}}$
$\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{33}{47}$
$\dfrac{5\cdot 33}{3\cdot 47}$
$\dfrac{5\cdot11}{47}=\dfrac{55}{47}$

Answer 2

Pelo que entendi a expressão dada é

$\frac{\sqrt{0,999...}+\sqrt{0,444...}}{1+0,4242...}$

Neste caso vamos escrever os números na forma racional.

x = 0,999... e 10x = 9,999... Subtraindo o último pelo primeiro temos
10x - x = 9,999... - 0,999...
9x = 9
x = 1

y = 0,444... e 10y = 4,444... Subtraindo o último pelo primeiro temos
10y - y = 4,444... - 0,444...
9y = 4
y = 4/9

z = 0,4242... e 100z = 42,4242... Subtraindo o último pelo primeiro temos
100z - z = 42,4242... - 0,4242...
99z = 42
z = 42/99

Reescrevendo a expressão

$\frac{\sqrt{1}+\sqrt{\frac{4}{9}}}{1+\frac{42}{99}}=\\\\ \frac{1+\frac{2}{3}}{1+\frac{14}{33}}=\\\\ \frac{\frac{5}{3}}{\frac{47}{33}}=\\\\ \frac{5}{3}\times\frac{33}{47}=\\\\ \frac{165}{141}=\\\\ \boxed{\frac{55}{47}}$

Ou seja, afirmação falsa.