Question

5) Usando om teorema de Laplace, calcule o determinante abaixo:
2 1 0 3
1 4 0 5
7 9 4 1
0 3 1 6
essa é a matriz​

Answer 1

Temos a seguinte matriz (vamos chamá-la de Matriz A):

$\sf A=\begin{bmatrix}\sf2&\sf1&\sf0&\sf3\\\sf1&\sf4&\sf0&\sf5\\\sf7&\sf9&\sf4&\sf1\\\sf0&\sf3&\sf1&\sf6\end{bmatrix}$

Vemos que é uma matriz de ordem 4

Pelo Teorema de Laplace, que diz o seguinte: escolhendo uma fila, o determinante será a soma entre cada elemento desta fila multiplicado pelo seu cofator

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$\underbrace{\sf Veja:}$

• Primeiro vamos escolher uma fila (linha ou coluna) que tenha mais zeros, assim vai ter menos contas. Vamos escolher a terceira coluna pois possui dois zeros:

$\Rightarrow~~\begin{vmatrix}~\sf0~\\~\sf0~\\~\sf4~\\~\sf1~\end{vmatrix}$

• Como diz o teorema, o determinante será a soma entre cada elemento dessa linha multiplicado pelo seu respectivo cofator:

$\sf Det~(A)=0\cdot C_{13}+0\cdot C_{23}+4\cdot C_{33}+1\cdot C_{43}$

• Tendo os zeros multiplicando, podemos desconsiderar, ficando somente:

$\sf Det~(A)=4\cdot C_{33}+1\cdot C_{43}$

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Agora vamos calcular os cofatores. A fórmula é dada por:

$\sf C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot D_{ij}$

• Obs.: Lembre-se que i = linha, e j = coluna  //  Para calcular o Dij, exclua a linha e a coluna formando uma matriz 3x3, e aí calcule o determinante aplicando a Regra de Sarrus

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Cofator linha 3 coluna 3 :

$\sf C_{33}=(-1)^{3+3}\cdot D_{33}$

$\sf C_{33}=(-1)^6\cdot \begin{vmatrix}\sf 2&\sf 1&\sf 3\\\sf 1&\sf 4&\sf 5\\\sf 0&\sf 3&\sf 6\end{vmatrix}$

• Pela Regra de Sarrus: repita as duas colunas inicias ao lado da matriz, faça a multiplicação da diagonal principal e subtraia da diagonal secundária

$\sf C_{33}=1\cdot \begin{vmatrix}\sf 2&\sf 1&\sf 3\\\sf 1&\sf 4&\sf 5\\\sf 0&\sf 3&\sf 6\end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 2&\sf 1\\\sf 1&\sf 4\\\sf 0&\sf 3\end{matrix}$

$\sf C_{33}=2.4.6+1.5.0+3.1.3-(3.4.0+2.5.3+1.1.6)$

$\sf C_{33}=48+0+9-(0+30+6)$

$\sf C_{33}=57-36$

$\boxed{\sf C_{33}=21}$

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Cofator linha 4 coluna 3 :

$\sf C_{43}=(-1)^{4 + 3}\cdot D_{43}$

$\sf C_{43}=(-1)^7\cdot \begin{vmatrix}\sf 2&\sf 1&\sf 3\\\sf 1&\sf 4&\sf 5\\\sf 7&\sf 9&\sf 1\end{vmatrix}$

$\sf C_{43}=-1\cdot \begin{vmatrix}\sf 2&\sf 1&\sf 3\\\sf 1&\sf 4&\sf 5\\\sf 7&\sf 9&\sf 1\end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 2&\sf 1\\\sf 1&\sf 4\\\sf 7&\sf 9\end{matrix}$

$\sf C_{43}=-1[2.4.1+1.5.7+3.1.9-(3.4.7+2.5.9+1.1.1)]$

$\sf C_{43}=-1[8+35+27-(84+90+1)]$

$\sf C_{43}=-1[70-175]$

$\sf C_{43}=-1[-105]$

$\boxed{\sf C_{43}=105}$

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Encontrado os cofatores, basta substituir para encontrarmos o determinante:

$\sf Det~(A)=4\cdot C_{33}+1\cdot C_{43}$

$\sf Det~(A)=4\cdot21+1\cdot105$

$\sf Det~(A)=84+105$

$\boxed{\sf Det~(A)=189}$

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RESPOSTA: O determinante da matriz é 189

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Att. Nasgovaskov

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