Question

5. Um triângulo equilátero tem lado de medida 2cm. Ao unir os
pontos médios dos três lados desse triángulo, é obtido outro
triangulo equilátero. Juntando novamente os pontos médios
do triângulo anterior, é encontrado outro triángulo equilatero,
e assim sucessivamente.
Nesse contexto, qual é a soma dos perimetros de todos os
triangulos equiláteros possíveis de serem traçados?
A 9
B 12
C 15
D 18
E 21​

Answer 1

Resposta:

A resposta correta é a letra B) 12

Answer 2

Resposta:

A soma dos perímetros de todos os triângulos equiláteros possíveis de serem traçados é igual a 12 centímetros.

A alternativa correta é a alternativa B.

Por favor, acompanhar a Explicação.

Explicação passo a passo:

Vamos à resolução da Tarefa, trazendo, inicialmente, o entendimento de que as somas dos perímetros de todos os triângulos equiláteros possíveis de serem traçados corresponde à soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita.

Igualmente, os lados dos triângulos equiláteros traçados terão lados de medidas iguais à metade dos lados dos triângulos que os antecedem.

O perímetro do 1º triângulo equilátero, de lados de medidas iguais a 2 centímetros, é assim calculado:

$P_{1}=2+2+2=6$

Assim, o primeiro elemento da sequência numérica, que representa os perímetros de todos os triângulos equiláteros possíveis de serem traçados, é igual a 6 centímetros (a₁ = 6 cm).

O perímetro do 2º triângulo equilátero, de lados de medidas iguais a 1 centímetro, tem o seguinte valor:

$P_{2}=1+1+1=3$

O segundo termo da sequência numérica é igual a 3 centímetros (a₂ = 3 cm).

O perímetro do 3º triângulo equilátero, de lados de medidas iguais a 0,5 centímetros, tem o seguinte valor:

$P_{3}=0,5+0,5+0,5=1,5$

O terceiro termo da sequência numérica é igual 1,5 centímetros (a₃ = 1,5 cm).

O perímetro do 4º triângulo equilátero, de lados de medidas iguais a 0,25 centímetros, é assim calculado:

$P_{4}=0,25+0,25+0,25=0,75$

O quarto termo da sequência numérica é igual a 0,75 centímetros (a₄ = 0,75 cm).

Vamos organizar a sequência numérica:

$a_{1}=6\\a_{2}=3\\a_{3}=1,5\\a_{4}=0,75\\\\S=(6,~3,~1,5,~0,75,~...)$

Agora, procuremos determinar o valor da razão entre os termos da progressão geométrica:

$q=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\\\\q=\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\dfrac{1,5}{3}=\dfrac{1}{2}\\\\q=\dfrac{a_{4}}{a_{3}}=\dfrac{0,75}{1,5}=\dfrac{1}{2}$

Portanto, a razão ou a constante da progressão geométrica tem valor "q" igual a 1/2.

A fórmula correspondente à soma infinita dos termos de uma progressão geométrica, cuja razão encontra-se no intervalo 0 < q < 1, é assim expressa:

$S_{\infty}=\dfrac{a_{1}}{1-q}\\a_{1}=6\\q=\dfrac{1}{2}\\\\Logo:\\S_{\infty}=\dfrac{6}{1-\frac{1}{2}}\\\\S_{\infty}=\dfrac{6}{\frac{1}{2}}\\\\S_{\infty}=6\times2\\S_{\infty}=12$

A soma dos perímetros de todos os triângulos equiláteros possíveis de serem traçados é igual a 12 centímetros.

A alternativa correta é a alternativa B.