Question

5 - Um projétil é lançado com velocidade de 216Km/h segundo um ângulo de 53º com a horizontal. Considere sen 53º = 0,8 e cos 53º = 0,6. Calcule: a) as componentes horizontal e vertical da velocidade no início do movimento; b) o tempo de subida; c) a altura máxima atingida pelo projétil; d) o alcance do projétil.

Answer 1

Temos os seguintes dados:

$\begin{cases} \sf v _0 = 216km /h \\ \sf sen_ \theta =0,8 \\ \sf cos_\theta = 0,6m \end{cases}$

A primeira coisa que devemos fazer é converter a velocidade inicial de km/h para m/s, ou seja, dividir por 3,6:

$\boxed{ \sf 216 \div 3,6 = 60m/s}$

Agora vamos partir para os cálculos de fato:

a) as componentes horizontal e vertical da velocidade no início do movimento;

• A componente (vx) está sobre o eixo "x" e colada com o ângulo "theta", portanto teremos que:

$\ast \: \sf v_x = v_0cos \theta \: \ast$

Substituindo os dados:

$\sf v_x = 60 \: . \: cos53 {}^{ \circ} \\ \sf v_x = 60 \: . \:0 ,60 \\ \boxed{\sf v_x = 36m/s}$

• Componente (vy) está sobre o eixo "y" e o relação trigonométrica será o seno, pois o cosseno já foi utilizado, portanto:

$\ast \: \sf v_y = v_0sen \theta \: \ast$

Substituindo os dados:

$\sf v_y = 60sen53 {}^{ \circ} \\ \sf v_y = 60 \: . \: 0,80 \\ \boxed{\sf v_y = 48m/s}$

Respostas do item a).

b) o tempo de subida:

Para descobrir o tempo de subida, basta substituirmos os dados na equação horária das velocidades:

$\ast \sf v = v_0sen \theta - gt \: \ast$

Vamos substituir os dados e considerar a gravidade (g) igual a 10m/s² e a velocidade final (v) igual a 0m/s, já que quando a pedra atingir a sua altura máxima, ela irar entrar em repouso por um instante de tempo e começar a cair.

$\sf v = v_0sen \theta - gt \\ \sf 0 = 60 \: . \: sen53 {}^{ \circ} - 10.t \\ \sf 0 = 60 \: . \: 0,8 - 10t \\ \sf 0 = 48 - 10t \\ \sf - 48 = - 10t \\ \sf t = \frac{ - 48}{ - 10} \\ \boxed{\sf t = 4,8s}$

Esse é o tempo de subida.

c) a altura máxima atingida pelo projétil:

Para encontrar a altura máxima, devemos substituir os dados na equação horária das posições.

• O espaço inicial (yo) é igual a 0, pois a pedra parte do repouso.

$\ast \: \sf y = y_0 + v_0sen \theta .t- \frac{1}{2} gt {}^{2} \: \ast$

Substituindo os dados:

$\sf y = 0 + 60 \: . \: sen53 {}^{ \circ} .4,8 - \frac{1}{2} .10.(4,8) {}^{2} \\ \\ \sf y = 60 \: . \:0 ,8 \: . \: 4,8 - \frac{1}{2} \: . \: 10 \: . \: 23,04 \\ \\ \sf y = 230,4 - \frac{230 ,4 }{2} \\ \\ \sf y = 230,4 - 115,2 \\ \\ \boxed{ \sf y = 115,2m}$

d) o alcance do projétil:

Para encontrar o alcance, basta substituir os valores na equação horária das posições para o MU.

• Lembre-se que a pedra possui o espaço incial (xo) igual a "0", pois provavelmente ela parte do repouso.

$\sf x = x_0 + v_0cos\theta.t$

Substituindo os dados:

$\sf x = 0 + 60.cos53^{\circ} \: . \: \underbrace{9,6}_{descida=subida} \\ \sf x = 0 + 36 \: . \: 9,6\\ \boxed{\sf x = 345,5m}$

Espero ter ajudado