5- Um produto está com sua venda anunciada em 12 parcelas mensais e iguais de R$ 300,00 sob regime e taxa de juros composto de 3% a.m. Uma pessoa está interessada em comprar esse produto em 18 parcelas mensais e iguais, sob mesmo regime e taxa anunciados, mas deseja iniciar os pagamentos após 3 meses do ato da compra e se propõe a pagar uma entra igual ao dobro parcela de seu financiamento. Determine o valor da entrada proposta:
Escolha uma:
a. R$ 399,10.
b. R$ 309,91.
c. R$ 199,03.
d. R$ 310,99.
e. R$ 319,09.
Soluções para a tarefa
Vamos calcular o coeficiente de financiamento (CF) para 18 parcelas mensais e iguais, cuja fórmula é:
CF = i/[1 - 1/(1+i)ⁿ] ----- fazendo as devidas substituições, teremos;
CF = 0,03/[1 - 1/(1+0,03)¹⁸]
CF = 0,03/[1 - 1/(1,03)¹⁸]
CF = 0,03/[1 - 1/1,702433]
CF = 0,03/[1 - 0,58739463]
CF = 0,03/[0,41260537] --- ou apenas:
CF = 0,03/0,41260537
CF = 0,0727087 <--- Este é o coeficiente de financiamento.
Agora note que o valor à vista menos a entrada deverá ser corrigido em mais 2 meses, já que haverá uma carência de 3 meses após a compra.
E, como o valor da entrada proposta é igual a 2 vezes o valor de cada parcela, então vamos chamar o valor da entrada de 2*PMT = 2PMT.
Antes, vamos encontrar o valor à vista, pela venda anunciada inicialmente, que seria pagamento em 12 parcelas mensais e iguais, a uma taxa de juros compostos de 3% (ou 0,03) ao mês. Para isso, teremos que encontrar o CF relativo a essas 12 parcelas. Assim teremos:
CF = 0,03/[1 - 1/(1+0,03)¹²]
CF = 0,03/[1 - 1/(1,03)¹²]
CF = 0,03/[1 - 1/1,42576089]
CF = 0,03/[1 - 0,701379879]
CF = 0,03/[0,29862] = 0,100462 (aproximadamente) <--- Este é o CF para 12 meses.
Agora, vamos calcular o valor à vista pela fórmula de cada PMT, que é esta:
PMT = CF*VA ---- substituindo-se PMT por "300" e CF por "0,100462" e encontraremos "VA", que será o valor à vista. Assim:
300 = 0,100462*VA ---- ou, invertendo-se:
0,100462VA = 300 ---- isolando VA, teremos:
VA = 300/0,100462
VA = 2.986,20 (aproximadamente) <--- Este é o valor à vista do produto.
Bem, agora vamos corrigir em 2 meses o valor à vista (2.986,20) menos a entrada (2PMT), pelo mesmo regime de juros compostos (3% ao mês, que equivale a 0,03). Assim, teremos:
(2.986,20-2PMT)*(1+0,03)² = (2.986,20-2PMT)*(1,03)² =
= (2.986,20-2PMT)*1,0609 = (2.986,20*1,0609 - 2PMT*1,0609) =
= (3.168,06 - 2,1218PMT) <--- Este é o valor à vista menos a entrada, já corrigido em 2 meses.
Agora, sim, vamos ao que interessa, que é encontrar qual é o valor da entrada, ou seja, iremos encontrar o que foi proposto pelo cliente, aplicando a fórmula de PMT, que é esta:
PMT = CF*VA ---- substituindo CF (para 18 meses) por "0,0727087" e VA pelo valor à vista menos a entrada (o que encontramos logo aí em cima), e que é: "3.168,06 - 2,1218PMT), teremos:
PMT = 0,0727087*(3.168,06 - 2,1218PMT)
PMT = 0,0727087*3.168,06 - 0,0727087*2,1218PMT
PMT = 230,34 - 0,1542733PMT ---- passando o que tem "PMT" do 2º para o 1º membro, teremos:
PMT + 0,1542733PMT = 230,34
1,1542733PMT = 230,34 ---- isolando PMT, teremos:
PMT = 230,34/1,1542733 ---- veja que esta divisão dá: 199,55 (bem aproximado). Assim:
PMT = 199,55 <--- Este será o valor de cada uma das 18 prestações propostas.
E, considerando que a entrada valerá 2 vezes cada prestação, então a entrada (que vamos chamar de "E") será de:
E= 2*199,55
E = 399,10 <--- Esta é a resposta. Opção "a".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.
Resposta:
a) 399,10
Explicação passo-a-passo:
O calculo é pratico, seguindo a fórmula não tem erro
Vamos calcular o coeficiente de financiamento (CF) para 18 parcelas mensais e iguais, cuja fórmula é:
CF = i/[1 - 1/(1+i)ⁿ] ----- fazendo as devidas substituições, teremos;
CF = 0,03/[1 - 1/(1+0,03)¹⁸]
CF = 0,03/[1 - 1/(1,03)¹⁸]
CF = 0,03/[1 - 1/1,702433]
CF = 0,03/[1 - 0,58739463]
CF = 0,03/[0,41260537] --- ou apenas:
CF = 0,03/0,41260537
CF = 0,0727087 <--- Este é o coeficiente de financiamento.
Note que o valor à vista menos a entrada deverá ser corrigido em mais 2 meses, já que haverá uma carência de 3 meses após a compra.
Como o valor da entrada proposta é igual a 2 vezes o valor de cada parcela, então vamos chamar o valor da entrada de 2*PMT = 2PMT.
Primeiro, vamos encontrar o valor à vista, pela venda anunciada inicialmente, que seria pagamento em 12 parcelas mensais e iguais, a uma taxa de juros compostos de 3% (ou 0,03) ao mês. Para isso, teremos que encontrar o CF relativo a essas 12 parcelas. Assim teremos:
CF = 0,03/[1 - 1/(1+0,03)¹²]
CF = 0,03/[1 - 1/(1,03)¹²]
CF = 0,03/[1 - 1/1,42576089]
CF = 0,03/[1 - 0,701379879]
CF = 0,03/[0,29862] = 0,100462 (aproximadamente) <--- Este é o CF para 12 meses.
Vamos inicialmente calcular o valor à vista pela fórmula de cada PMT, que é esta:
PMT = CF*VA ---- substituindo-se PMT por "300" e CF por "0,100462" e encontraremos "VA", que será o valor à vista. Assim:
300 = 0,100462*VA ---- ou, invertendo-se:
0,100462VA = 300 ---- isolando VA, teremos:
VA = 300/0,100462
VA = 2.986,20 (aproximadamente) <--- Este é o valor à vista do produto.
Agora iremos corrigir em 2 meses o valor à vista (2.986,20) menos a entrada (2PMT), pelo mesmo regime de juros compostos (3% ao mês, que equivale a 0,03). Assim, teremos:
(2.986,20-2PMT)*(1+0,03)² = (2.986,20-2PMT)*(1,03)² =
= (2.986,20-2PMT)*1,0609 = (2.986,20*1,0609 - 2PMT*1,0609) =
= (3.168,06 - 2,1218PMT) <--- Este é o valor à vista menos a entrada, já corrigido em 2 meses.
Agora, sim, vamos direto ao ponto interessante, que é encontrar qual é o valor da entrada, ou seja, iremos encontrar o valor proposto pelo cliente, aplicando a fórmula de PMT, que é esta:
PMT = CF*VA ---- substituindo CF (para 18 meses) por "0,0727087" e VA pelo valor à vista menos a entrada (o que encontramos logo aí em cima), e que é: "3.168,06 - 2,1218PMT), teremos:
PMT = 0,0727087*(3.168,06 - 2,1218PMT)
PMT = 0,0727087*3.168,06 - 0,0727087*2,1218PMT
PMT = 230,34 - 0,1542733PMT ---- passando o que tem "PMT" do 2º para o 1º membro, teremos:
PMT + 0,1542733PMT = 230,34
1,1542733PMT = 230,34 ---- isolando PMT, teremos:
PMT = 230,34/1,1542733 ---- veja que esta divisão dá: 199,55 (bem aproximado). Assim:
PMT = 199,55 <--- Este será o valor de cada uma das 18 prestações propostas.
E, consideramos que a entrada terá valor de 2 vezes cada prestação, então a entrada (que vamos chamar de "E") será de:
E= 2*199,55
E = 399,10 <--- a resposta correta será: Opção a) 399,10