Question

5. (UFMG – Adaptada) Num grupo constituído de 15 pes-
soas, cinco vestem camisas amarelas, cinco vestem cami-
sas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se
formar uma fila com essas pessoas de forma que as três
primeiras vistam camisas de cores diferentes e que as se-
guintes mantenham a sequência de cores dada pelas três
primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras distintas
se pode fazer tal fila?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Chamando os camisas amarelos de Y (yellow), vermelhas de R (red) e verdes de G (green), um exemplo de fileira seria

(Y R G) (Y R G) (Y R G) (Y R G) (Y R G)

Perceba que é uma sequência cuja primeira tripla é repetida adiante. E para descobrir quantas maneiras diferentes conseguimos formar filas assim, devemos considerar que são 6 possibilidades:

(Y R G) (Y R G) (Y R G) (Y R G) (Y R G)

(Y G R) (Y G R) (Y G R) (Y G R) (Y G R)

(R Y G) (R Y G) (R Y G) (R Y G) (R Y G)

(R G Y) (R G Y) (R G Y) (R G Y) (R G Y)

(G R Y) (G R Y) (G R Y) (G R Y) (G R Y)

(G Y R) (G Y R) (G Y R) (G Y R) (G Y R)

Para cada uma dessas 6 formas, pensamos da seguinte forma:

(_ _ _) (_ _ _) (_ _ _) (_ _ _) (_ _ _)

5 5 5   4 4 4   3 3 3   2 2 2    1  1  1

ou seja, na primeira posição, temos 5 possibilidades de uma cor A, na segunda posição, 5 possibilidades de uma cor B, na terceira posição, 5 possibilidades de uma cor C, na quarta posição, 4 possibilidades da cor A (uma já foi usada na primeira posição), e assim por diante. Com isso vamos ter 5*5*5 * 4*4*4 * 3*3*3 * 2*2*2 * 1*1*1 = (5!)^3 = 1728000 possibilidades.

Repare que nessa multiplicação que fizemos já estamos incluindo todos os Y's trocando de lugar uns com os outros, todos os G's trocando de lugar uns com os outros e todos os R's trocando de um lugar uns com os outros.

Como são 6 possibilidades comentado lá em cima, vamos ter no total 6*1728000 = 10368000 maneiras distintas