Matemática, perguntado por fredericosantiago288, 7 meses atrás

5 – Seja J = {0, 2, 8, 12, 20} e L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, faça um
diagrama da função f : J => L, tal que, f (x) = x/2, onde J seja o domínio L o
contradomínio e M o conjunto imagem

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

O diagrama de flechas requerido pela questão (resposta) da função proposta está representado em anexo.

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Desejamos construir um diagrama da função f : J ➞ L definida por f(x) = x/2 tal que J = {0, 2, 8, 12, 20} e L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Mas antes, confira a explicação abaixo para você entender do que se trata estes conjuntos e suas relações.

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O que é domínio?

O domínio D(f) é representado pelo conjunto J. É um conjunto constituído por todos os possíveis valores que a variável real (tratando-se de funções reais) independente ‘‘x’’ pode assumir. Podemos dizer que o domínio são elementos que nós usamos na função. Note que, o domínio real de f(x) = x/2 é D(f) = ℝ, mas a questão o restringiu para somente cinco elementos (J = {0, 2, 8, 12, 20}). Assim o conjunto domínio de f é:

$\\\Large\boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\D(f)=\big\{0,~2,~8,~12,~20\big\}\\\\\end{array}}}}\\\\$

O que é contradomínio?

O contradomínio CD(f) é representado pelo conjunto L. É um conjunto constituído de elementos que podem, ou não, estar associados a elementos de D(f). Podemos dizer que o contradomínio são elementos que estão à nossa disposição. Assim o conjunto contradomínio de f é:

$\\\Large\boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\CD(f)=\big\{0,~1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10\big\}\\\\\end{array}}}}\\\\$

O que é imagem?

Por fim, a imagem Im(f) (representada por um conjunto M, dito pela questão) é o conjunto de elementos de CD(f) que associam-se a elementos de D(f), sendo, portanto, um subconjunto de CD(f) (Im(f) ⊆ CD(f)). Podemos dizer que a imagem são elementos que nós obtemos na função totalmente dependentes do valor da variável independente ‘‘x’’. Para completar o diagrama que iremos construir, devemos encontrar o conjunto imagem de f. De uma forma simples ao que foi explicado, como seus elementos são obtidos usando os elementos de D(f) basta que substituamos eles na função:

$\\\begin{array}{c}Se~f(x)=\dfrac{x}{2}:\\\\\begin{cases}f(0)=\dfrac{0}{2}=0~~~~~~~\therefore~~0~\acute{e}~a~imagem~de~0\\\\f(2)=\dfrac{2}{2}=1~~~~~~~\therefore~~1~\acute{e}~a~imagem~de~2\\\\f(8)=\dfrac{8}{2}=4~~~~~~~\therefore~~4~\acute{e}~a~imagem~de~8\\\\f(12)=\dfrac{12}{2}=6~~~~\therefore~~6~\acute{e}~a~imagem~de~12\\\\f(20)=\dfrac{20}{2}=10~~~\therefore~~10~\acute{e}~a~imagem~de~20\end{cases}\end{array}\\\\$

Veja que, de todos os elementos à nossa disposição no contradomínio, apenas cinco deles participam efetivamente da relação com o domínio. Logo o conjunto imagem de f é:

$\\\Large\boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\Im(f)=\big\{0,~1,~4,~6,~10\big\}\\\\\end{array}}}}\\\\$

Agora sim podemos montar o diagrama de flechas. Para isso vamos posicionar os conjuntos J e L um pouco separados, representando-os por figuras ovais, e colocar seus respectivos elementos. Depois, partindo do conjunto J e com base no que calculamos lá em cima, fazemos uma flecha saindo de cada um dos elementos para se associarem à um elemento do conjunto L, cujo estes estarão recebendo a flechada. Por exemplo, o elemento 0 estará flechando o elemento 0, o elemento 2 estará flechando o elemento 1, e assim por diante. Depois destacamos o conjunto imagem como sendo o conjunto M, e o diagrama estará finalizado (veja em anexo como fica).

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$