Question

5)Seja a o menor número que é solução da equação 5^(x^2-2)/125 = (1/25)^ -2x
entao raiz de a e um numero ====> C ) nao real

6)escreva em que n pertence aos inteiros, em sua forma mais simples.
GABARITO n = 13/6

7)Seja a , 0 Resolva a inequação exponencial
GABARITO s={xϵR|x<⅔ }

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Answer 1

Vamos lá.

Veja,Márcio, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa, pois são dadas três questões para resolver num só espaço. Mas vamos tentar resolver todas as três, aproveitando o pequeno espaço de que dispomos.

5) Seja "a" o menor número que é solução da seguinte equação. Depois de resolver, informe o que tem a dizer sobre o número  "√(a)".

Bem, visto isso, vamos pôr a expressão da 5ª questão, que é esta:

5ˣ²⁻² / 125 = (1/25)⁻²ˣ ----- veja que 125 = 5³; e 25 = 5². Assim:
5ˣ²⁻² / 5³ = (1/5²)⁻²ˣ
5ˣ²⁻² / 5³ = (1/5)²*⁽⁻²ˣ⁾
5ˣ²⁻² / 5³ = (1/5)⁻⁴ˣ

Agora veja isto: no 1º membro, temos divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo:

5ˣ²⁻²⁻³ = (1/5)⁻⁴ˣ ---- veja que (1/5)⁻⁴ˣ é a mesma coisa que 5⁴ˣ. Assim:
5ˣ²⁻²⁻³ = 5⁴ˣ
5ˣ²⁻⁵ = 5⁴ˣ ---- como as bases são iguais, então igualaremos os expoentes. Logo:

x² - 5 = 4x ---- passando "4x" para o 1º membro, teremos;
x² - 5 - 4x = 0 --- ordenando, teremos:
x² - 4x - 5 = 0 ----- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = - 1; e x'' = 5.

Como é pedido o menor valor de "a", e como já vimos que "a" é a solução da equação acima, ou seja, então temos que a' = -1 e a'' = 5.
Como é pedido a raiz quadrada da menor solução, então teremos que:

√(-1) NÃO é um número real, pois não existem raízes quadradas de números negativos. Logo, a resposta para a 5ª questão  será o item "c", que diz isto:

c) não real <--- Esta é a resposta para a 5ª questão. Opção "c".

6) Escreva o valor da seguinte expressão (que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa) na sua forma mais simples, sabendo-se "n" pertence aos inteiros.

y = (2ⁿ⁻¹ + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹)*(3ⁿ⁻¹ + 3ⁿ + 3ⁿ⁺¹) / (6ⁿ + 6ⁿ⁺¹)

Veja: se colocarmos 2ⁿ⁻¹ em evidência na soma onde só tem fatores "2" e se colocarmos 3ⁿ⁻¹ em evidência na soma onde só tem fatores "3", ficaremos assim:

y = 2ⁿ⁻¹*[1 + 2¹ + 2²]*3ⁿ⁻¹*[1 + 3¹ + 3²] / (6ⁿ + 6ⁿ⁺¹) ----- note: numa multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto. Então, no numerador, vamos fazer assim:

y = 2ⁿ⁻¹ * 3ⁿ⁻¹ * [1+2+4]*[1+2+9] / (6ⁿ + 6ⁿ⁺¹] --- note que como tanto o "2" e o "3" que estão em evidência estão, ambos, elevados a "n-1", então poderemos fazer assim:

y = (2*3)ⁿ⁻¹*[1+2+4*[1+3+9] / (6ⁿ + 6ⁿ⁺¹)
y = 6ⁿ⁻¹*[7]*[13] / (6ⁿ + 6ⁿ⁺¹)

Agora note: se colocarmos, no denominador "6ⁿ" em evidência, iremos ficar da seguinte forma:

y = 6ⁿ⁻¹*[7]*[13] / 6ⁿ*[1 + 6] ---- desenvolvendo, teremos:
y = 6ⁿ⁻¹*[7]*[13] / 6ⁿ*[7] ---- simplificando-se numerador e denominador por "7", iremos ficar apenas com:

y = 6ⁿ⁻¹*[13] / 6ⁿ ---- veja: divisão de potência da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo:

y = 6ⁿ⁻¹⁻ⁿ * [13] ----- desenvolvendo, temos:
y = 6⁻¹ * 13 ----- note que 6⁻¹ = 1/6. Então:
y = (1/6)*13 ---- efetuando o produto, teremos:
y = 1*13/6
y = 13/6 <--- Esta é a resposta para a 6ª questão. Este é o valor da expressão originalmente dada.

7) Seja "a", com 0 < a < 1 , um número real dado.
Visto isso, então resolva a seguinte inequação exponencial:

a²ˣ⁺¹ > (1/a)ˣ⁻³ ----- note que (1/a)ˣ⁻³ é a mesma coisa que a⁻ˣ⁺³. Assim, substituindo-se, teremos:

a²ˣ⁺¹ > a⁻ˣ⁺³

Agora veja: como as bases são iguais, então poderemos comparar os expoentes. E, como já sabemos que a base "a" está entre "0" e "1" (lembre-se que foi dado que: 0 < a < 1), então, na comparação dos expoentes nós o faremos com o sentido contrário da desigualdade (o que é > passa pra < e vice-versa). Assim, comparando-se os expoentes acima teremos:

2x + 1 < -x + 3 ---- passando-se tudo o que tem "x" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, ficaremos assim:

2x + x < 3 - 1
3x < 2 ----------- isolando "x", ficaremos com:
x < 2/3 ------- Esta é a resposta para a 7ª questão.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução do seguinte modo, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x < 2/3}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.