Question

5. Seja a curva de equação y = x³ - 12x. Determine a equação da reta tangente à
curva no ponto em que x = 4.

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a reta tangente ao gráfico da referida função é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 36x - 128\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                 $\Large\begin{cases} y = x^{3} - 12x\\x = 4\end{cases}$

Sabendo que y = f(x) e que x = Xt, então podemos reescrever os dados como:

                 $\Large\begin{cases} f(x) = x^{3} - 12x\\x_{T} = 4\end{cases}$

Para montarmos a equação da reta "t" tangente ao gráfico da referida função podemos utilizar a fórmula do ponto/declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{r}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Sabendo que o coeficiente angular é numericamente igual à primeira derivada da função no ponto de abscissa "Xt", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{r} = f'(x_{T})\end{gathered}$

Além disso, sabemos também que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$

Substituindo "II" e "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

     $\large\displaystyle\begin{gathered} y - (4^{3} - 12\cdot4) = \left[3\cdot1\cdot4^{3- 1} - 1\cdot12\cdot4^{1 - 1}\right]\cdot(x - 4)\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - (64 - 48) = \left[3\cdot4^{2} - 12\cdot4^{0}\right]\cdot(x - 4)\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 16 = \left[3\cdot16 - 12\cdot1\right]\cdot(x - 4)\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 16 = \left[48 - 12\right]\cdot(x - 4)\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 16 = 36\cdot(x - 4)\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 16 = 36x - 144\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 36x - 144 + 16\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 36x -128\end{gathered}$

✅ Portanto, a reta tangente é:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 36x - 128\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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