Question

5) Sabendo que os triângulos AIG e FEG são semelhantes e que a razão entre suas áreas é 1/4, determine as medidas dos lados de cada um. ​

Answer 1

Resposta:

Lados $\triangle AIG$: $\overline{AI}=7,5u; \overline{GI}=4u;\overline{AG}=8,5u;$

Lados $\triangle FEG$: $\overline{EF}=15u;\overline{EG}=8u;\overline{FG}=17u;$

Explicação passo a passo:

Como $\triangle AIG$ e $\triangle FEG$ são semelhantes:

Sendo $l$ a razão dos lados dos triângulos $\triangle AIG$ e $\triangle FEG$;

Sendo $\frac{1}{4}$ a razão das áreas $A_{\triangle AIG}$ e $A_{\triangle EFG}$;

Podemos traçar a seguinte relação:

$l^2=\frac{A_{\triangle AIG}}{A_{\triangle FEG}}\\\\l^2=\frac{1}{4}\\\\l=\pm\frac{1}{2}$

Como $l > 0$, então $l = \frac{1}{2}$.

Relacionando os lados, teremos:

$\overline{AI}\cong \overline{EF}$

$\overline{GI}\cong \overline{EG}$

$\overline{AG}\cong \overline{FG}$

Logo:

$\frac{\overline{GI}}{\overline{EG}}=\frac{1}{2}\\\\\frac{4}{x+3}=\frac{1}{2}\\\\x+3=8\\\\x=5$

$\frac{\overline{AI}}{\overline{EF}}=\frac{1}{2}\\\\\frac{z}{3x}=\frac{1}{2}\\\\\frac{z}{3\cdot5}=\frac{1}{2}\\\\\frac{z}{15}=\frac{1}{2}\\\\2z = 15\\\\z = 7,5$

$\frac{\overline{AG}}{\overline{FG}}=\frac{1}{2}\\\\\frac{8,5}{y}=\frac{1}{2}\\\\y=17$

Portanto:

Lados $\triangle AIG$: $\overline{AI}=7,5u; \overline{GI}=4u;\overline{AG}=8,5u;$

Lados $\triangle FEG$: $\overline{EF}=15u;\overline{EG}=8u;\overline{FG}=17u;$