Matemática, perguntado por anaestherfelixp4h219, 10 meses atrás

5) Resolva a equação biquadrada: X⁴-10x²+9=0

Soluções para a tarefa

Respondido por Math739

Após resolver a equação biquadrada, concluímos que o conjunto verdade é:

$\boxed{\boxed{ \mathbf{ V=\{-3;~-1;~+1;~+3\}}}} \,\cdot$

Do mesmo modo que nas equações do segundo grau, devemos verificar se os valores encontrados como raízes satisfazem a equação proposta.

A resolução de uma equação biquadrada pode ser feita segundo dois processos:

- Processo direto:

A fórmula resolutiva de uma equação biquadrada é semelhante à forma resolutiva da equação do segundo grau:

$\mathsf{ ax^4+bx^2+c=0}$

$\mathsf{ x=\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2\cdot a}}}$

Logo, as raízes da equação poderão ser indicadas:

$\mathsf{ x_1=+\sqrt{\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2\cdot a}}\quad x_2=-\sqrt{\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2\cdot a}}}$

$\mathsf{ x_3=+\sqrt{\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2\cdot a}}\quad x_4=-\sqrt{\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2\cdot a}}}$

Então, agora que sabemos um pouco sobre o assunto vamos a resolução da pergunta:

$\mathsf{ x^4-10x^2+9=0}$

$\mathsf{ a=1\quad b=-10\quad c=9}$

$\mathsf{\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c }$

$\mathsf{\Delta=(-10)^2-4\cdot 1\cdot9 }$

$\mathsf{ \Delta=100-36 }$

$\mathsf{\Delta=64 }$

$\mathsf{ x=\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2\cdot a}}}$

$\mathsf{x=\pm\sqrt{\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{64}}{2\cdot 1} }}$

$\mathsf{ x=\pm\sqrt{\dfrac{10\pm8}{2}}\begin{cases}\sf x_1=+\sqrt{\dfrac{10+8}{2}}=+\sqrt{9}=+3\\\\\sf x_2=-\sqrt{\dfrac{10+8}{2}}=-\sqrt9=-3\\\\\sf x_3=+\sqrt{\dfrac{10-8}{2}}=+\sqrt1=+1\\\\\sf x_4=-\sqrt{\dfrac{10-8}{2}}=-\sqrt1=-1\end{cases}}$

Portanto, o conjunto verdade da equação é:

$\boxed{\boxed{ \mathbf{ V=\{-3;~-1;~+1;~+3\}}}}$

Mais conhecimento sobre o assunto:

• https://brainly.com.br/tarefa/17338032

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o conjunto solução da referida equação biquadrada é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-3,\,-1,\,1,\,3\}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a equação biquadrada:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0\end{gathered}$}$

Sabemos que esta equação foi gerada a partir da seguinte função biquadrada:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = x^{4} - 10x^{2} + 9\end{gathered}$}$

Cujos coeficientes são:

$\Large\begin{cases} a = 1\\b = -10\\c = 9\end{cases}$

Para calcular as raízes da função biquadrada devemos fazer:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \pm\sqrt{\frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \pm\sqrt{\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^{2} - 4\cdot1\cdot9}}{2\cdot1}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \pm\sqrt{\frac{10\pm\sqrt{100 - 36}}{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \pm\sqrt{\frac{10\pm\sqrt{64}}{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \pm\sqrt{\frac{10\pm8}{2}}\end{gathered}$}$

Encontrando as raízes, temos:

$\LARGE\begin{cases} x' = -\sqrt{\frac{10 + 8}{2}} = -\sqrt{\frac{18}{2}} = -\sqrt{9} = -3\\x'' = -\sqrt{\frac{10 - 8}{2}} = -\sqrt{\frac{2}{2}} = -\sqrt{1} = -1\\x''' = \sqrt{\frac{10 - 8}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = 1\\x'''' = \sqrt{\frac{10 + 8}{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3\end{cases}$