Question

5 – (PUC-SP) – Os pontos A=(-1; 1), B=(2; -1) e C=(0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado, é:
a) x + 5y + 3 = 0.

b) x – 2y – 4 = 0.

c) x – 5y – 7 = 0.

d) x + 2y – 3 = 0.

e) x – 3y – 5 = 0.

Answer 1

Resposta:

c) $x-5y-7 = 0$

Explicação passo a passo:

A = (-1,1); B = (2,-1) e C = (0,-4)

D = (-3,-2)

primeiro vamos descobrir os coeficientes angulares dos segmentos AB e BC, pela fórmula $y-y_o = m(x-x_o)$

no segmento AB temos

$(-1)-1 = m(2-(-1))\\-2 = m(2+1)\\-2 = 3m \\m = -\frac{2}{3}$

logo o segmento AB é uma decrescente e é paralelo ao segmento DC, portando no segmento DC é

$y-y_o = -\frac{2}{3} (x-x_o)\\-4-y_o = -\frac{2}{3}(0-x_0)\\-4-y_0 = \frac{2}{3}x_o\\y_o = -(4+\frac{2}{3}x_o)$

$3y_o = -12-2x_o$

esses $y_o$ e $x_o$ são as coordenadas do ponto D.

Agora vamos para o segmento BC.

$(-4)-(-1) = m'(0-2)\\-4+1 = m'(-2)\\-3 = -2m'\\m' = \frac{3}{2}$

o Segmento BC é crescente e seu coeficiente angular é inverso do AB, portanto o segmento DA tem o mesmo m'. Logo temos

em DA

$1-y_o = \frac{3}{2} (-1-x_o)\\1-y_o = -\frac{3}{2}-\frac{3}{2} x_o\\y_o = 1+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x_o\\\\y_o = \frac{5}{2} + \frac{3}{2}x_o$

$2y_o = 5+3x_o$

como $y_o = y_o$ temos que

$\frac{-12-2x}{3} = \frac{5+3x}{2}\\2(-12-2x) = 3(5+3x)\\-24-4x = 15+9x\\-24-15 = 4x+9x\\-39 = 13x\\x = -3$

logo $y = (5+3\cdot (-3))/2\\y = -4/2\\y = -2$

Então o ponto D é ( -3, -2)

Agora para sabermos a diagonal BD usaremos o mesmo processo da equação da reta para acharmos o c. angular da diagonal

$(-1)-(-2) = t(2-(-3))\\-1+2 = t(2+3)\\1 = t(5)\\t = \frac{1}{5}$

Agora basta escolher um ponto do segmento DB e um outro ponto genérico(x,y), vamos usar o ponto D

$y-y_o = t(x-x_o)\\y-(-2) = \frac{1}{5}(x-(-3))\\y+2 = \frac{1}{5}(x+3)\\5(y+2) = (x+3)\\5y +10 = x+3\\5y +10-3-x = 0\\5y+7-x = 0\\x-5y-7 = 0$

deu trabalho mas tá tudo explicado rsrs.

espero ter ajudado