Question

5. (PUC) O valor de x para que os pontos (1, 3), (-2, 4), e (x, 0) do plano sejam colineares é:

a) 8

b) 9

c) 11

d) 10

e) 5

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Answer 1

Três pontos são colineares se o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos mesmos for igual a 0, caso contrário, os três pontos formam um triângulo.

Sabendo disso, podemos montar a seguinte matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}1&3&1\\-2&4&1\\x&0&1\end{array}\right]$

A terceira coluna é composta apenas por números 1 pois os pontos possuem apenas duas coordenadas, e multiplicar por 1 não altera o determinante. Com isso, temos:

$det\left|\begin{array}{ccc}1&3&1\\-2&4&1\\x&0&1\end{array}\right| = 0\\ \\1\cdot 4 \cdot 1 + 3\cdot 1 \cdot x -2\cdot 0 \cdot 1 -(1\cdot 4 \cdot x + 3\cdot (-2) \cdot 1 + 1\cdot 0 \cdot 1) = 0\\ \\4 + 3x - 0 - (4x - 6 + 0) = 0\\ \\3x + 4 - 4x + 6 = 0\\ \\-x + 10 = 0\\ \\x = 10$

Com isso, a abcissa do terceiro ponto deve ser 10 para que os pontos sejam colineares.

Portanto, alternativa d).

Obs.: Incluí a imagem com os pontos plotados, a reta que passa por eles é y = -x/3 + 10/3.

Espero ter ajudado.