Question

5. (Fuvest) Um losango está circunscrito a uma circunferência de raio 2cm. Calcule a área deste losango sabendo que um de seus ângulos mede 60°.

Answer 1

Observe o anexo $\Longrightarrow$

$\mathsf{A_{\diamond} \ = \dfrac{D_1 \cdot D_2}{2}}$

$\mathsf{A_{\diamond} \ \Rrightarrow}$ Área do losango de diagonais $\mathsf{D_1}$ e diagonais $\mathsf{D_2}$.

Além disso, $\boxed{\mathsf{D_1 \ \perp \ D_2}}$.

Seja o losango $\mathsf{JNXY}$, de diagonais $\mathsf{\overline{JN}}$ e $\mathsf{\overline{XY}}$.

A circunferência inscrita tem centro em $\mathsf{O}$ (ponto de encontro entre $\mathsf{\overline{JN}}$ e $\mathsf{\overline{XY}}$ e ponto médio das mesmas).

Os pontos de tangência entre o losango e a inscrita são $\mathsf{T_1}$, $\mathsf{T_2}$, $\mathsf{T_3}$ e $\mathsf{T_4}$.

Pelas propriedades da tangência, os segmentos do tipo $\mathsf{\overline{OT_x}}$ são raios $\mathsf{R \ = \ 2 \ cm}$ e são justamente a distância entre os lados tangentes e o centro da inscrita, por isso tais segmentos são perpendiculares aos lados do losango.

$\mathsf{J\widehat{X}N \ = \ J\widehat{Y}N \ = \ 60^\circ}$ e por isso $\mathsf{Y\widehat{J}X \ = \ Y\widehat{N}X \ = \ 120^\circ}$

As diagonais são perpendiculares! $\Longrightarrow$

$\mathsf{2 \ \cdot \ (J\widehat{X}N \ + \ Y\widehat{J}X) \ = \ 360^\circ \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{\dfrac{J\widehat{X}N}{2} \ + \ \dfrac{Y\widehat{J}X}{2} \ = \ \mathsf{\underbrace{90^\circ}_{\^angulo \ entre \ diagonais}}}}$ 


Observe que, pela tangência, achamos que as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.

O que implica que, por exemplo $\Longrightarrow \ \mathsf{J\widehat{Y}X \ = \ N\widehat{Y}X \ = \ \dfrac{60^\circ}{2} \ = \ 30^\circ}$

Por exemplo, no $\mathsf{\triangle T_1OY \ \Longrightarrow}$

$\mathsf{sen(\underbrace{\mathsf{J\widehat{Y}X}}_{= \ 30^\circ}) \ = \ \dfrac{\overbrace{\mathsf{\overline{OT_1}}}^{R \ = \ 2 \ cm}}{\overline{OY}}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{1}{2} \ = \ \dfrac{2}{\overline{OY}} \ \rightarrow \ \boxed{\mathsf{\overline{OY} \ = \ 4 \ cm}}}$

Logo, $\mathsf{\overline{XY} \ = \ 2 \ \cdot \ \overline{OY} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{\overline{XY} \ = \ 8 \ \ cm}}$

E, por exemplo, no $\mathsf{\triangle JOY \ \Longrightarrow}$

$\mathsf{tg(\underbrace{\mathsf{J\widehat{Y}X}}_{= \ 30^\circ}) \ = \ \dfrac{\overline{OJ}}{\overline{OY}}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{\sqrt{3}}{3} \ = \ \dfrac{\overline{OJ}}{\overline{4}} \ \rightarrow \ \boxed{\mathsf{\overline{OJ} \ = \ \dfrac{4 \cdot \sqrt{3}}{3} \ cm}}}$

Então, $\mathsf{\overline{JN} \ = \ 2 \ \cdot \ \overline{OJ} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{\overline{JN} \ = \ \dfrac{8 \cdot \sqrt{3}}{3} \ \ cm}}$

Logo, a área do losango $\mathsf{JNXY}$ é $\Longrightarrow$

$\mathsf{A_{(JNXY)} \ = \ \dfrac{\overbrace{\mathsf{D_1}}^{\overline{JN}} \ \cdot \ \overbrace{\mathsf{D_2}}^{\overline{XY}}}{2} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{A_{(JNXY)} \ = \ \dfrac{8 \ \cdot \ \frac{8 \ \cdot \ \sqrt{3}}{3}}{2} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{A_{(JNXY)} \ = \ \dfrac{32 \ \cdot \ \sqrt{3}}{3} \ \ cm^2}}} \ \Longrightarrow$

Área do dito losango!

$\mathsf{\heartsuit \mathbb{JN}}$