Question

5)  Escreva na forma trigonométrica os seguintes complexos:        
a)  2 + 2i          b) 2 – 2i               c)  i ​

Answer 1

a) $2\sqrt{2}\left(cos\,\dfrac{\pi}{4}+i\cdot sen\,\dfrac{\pi}{4}\right)$

b)  $2\sqrt{2}\left(cos\,\dfrac{7\pi}{4}+i\cdot sen\,\dfrac{7\pi}{4}\right)$

c) $cos\,\dfrac{\pi}{2}+i\cdot sen\,\dfrac{\pi}{2}$

Explicação

Deseja-se escrever os números complexos de cada item na forma trigonométrica.

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Forma trigonométrica

Sejam o número complexo $z=a+bi\neq0,$ seu argumento $\theta$ e $\rho$ seu módulo. Esse complexo pode ser escrito na seguinte forma:

$\Large\boxed{\text{ z=\rho(cos\,\theta+i\cdot sen\,\theta) .}}$

Essa é a chamada forma trigonométrica (ou polar) do número complexo $z.$

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Perceba que, para escrevermos um número complexo em tal forma, necessitamos saber o valor de seu módulo e de seu argumento.

O que é o módulo?

Inicialmente, recorde que um número complexo $z=a+bi$ pode ser associado ao ponto $P=(a,\,b)$ do plano. Esse ponto é chamado de afixo de $z.$ Denotando por O a origem do plano complexo, temos que a medida do segmento OP é o módulo do complexo $z.$

O módulo de $z$ costuma ser denotado por $|z|,\,\rho$ ou $r.$ Na resolução desta tarefa, é utilizado o símbolo $\rho.$ O seu valor é dado por:

$\Large\text{ \rho=\sqrt{a^2+b^2} .}$

O que é o argumento?

Considere o ângulo $\theta$ formado pela semirreta OP e pelo semieixo real positivo, tomado a partir deste no sentido anti-horário. Assim sendo, temos:

$\Large\begin{cases}cos\,\theta=\dfrac{a}{\rho}\\\\sen\,\theta=\dfrac{b}{\rho}\end{cases}$

O ângulo tal que $0\leq \theta < 2\pi$ é o argumento principal de $z,$ que costuma ser chamado somente de argumento.

Observação: Qualquer ângulo congruente a $\theta$ é também um argumento de $z.$

A seguir, é feita a resolução dos itens.

Item a

Neste caso, temos $a=b=2.$ Desse modo:

$\Large\begin{gathered}\rho=\sqrt{2^2+2^2}\\\\\rho=\sqrt{2\cdot2^2}\\\\\rho=2\sqrt{2}\end{gathered}$

Agora, vamos determinar o argumento:

$\Large\text{ \begin{cases}cos\,\theta=\dfrac{\diagup\!\!\!\!2}{\diagup\!\!\!\!2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\sen\,\theta=\dfrac{\diagup\!\!\!\!2}{\diagup\!\!\!\!2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases} }$

Assim, o argumento é o ângulo $45^{\circ}$ ou $\dfrac{\pi}{4}.$ Logo, a forma trigonométrica deste número complexo é:

$\Large\boxed{\boxed{\text{ 2\sqrt{2}\left(cos\,\dfrac{\pi}{4}+i\cdot sen\,\dfrac{\pi}{4}\right) .}}}$

Item b

Observe que o número complexo deste item é o conjugado do complexo do anterior. Como o módulo de um número complexo é igual ao de seu conjugado, então o módulo de $2-2i$ também é $2\sqrt{2}.$ Em relação ao argumento principal, é possível provar que se $\theta$ é o argumento principal de um complexo, então o argumento principal do conjugado é $2\pi-\theta.$

Desse modo, neste caso, temos:

$\Large\begin{gathered}\rho=2\pi-\dfrac{\pi}{4}\\\\\rho=\dfrac{8\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}\\\\\rho=\dfrac{7\pi}{4}\end{gathered}$

Isso significa que o argumento principal de $2-2i$ é igual a $\dfrac{7\pi}{4}.$ Portanto, a forma trigonométrica do complexo deste item é:

$\Large\boxed{\boxed{\text{ 2\sqrt{2}\left(cos\,\dfrac{7\pi}{4}+i\cdot sen\,\dfrac{7\pi}{4}\right) .}}}$

Item c

Observe a imagem anexa. Note que o afixo de $i$ está localizado sobre o eixo imaginário e dista 1 unidade da origem. Assim, seu módulo é igual a 1. Veja também que o ângulo entre a semirreta OP e o semieixo real positivo é reto. Logo, o argumento de $z$ é igual a $90^{\circ}$ ou $\dfrac{\pi}{2}.$ Consequentemente, a forma trigonométrica de $i$ é:

$\Large\boxed{\boxed{\text{ cos\,\dfrac{\pi}{2}+i\cdot sen\,\dfrac{\pi}{2} .}}}$

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