Question

5 - Escreva as seguintes expressões:

a) 6 / 5i

b) 1 - 2 i / 2 + i

c) 2 i / 1 - i

d) 1 / i + 1 / 1 + i

e) ( 1 + i ) 2 (ao quadrado) / 1 - i

f) 2 / 2 + 3 i - 2 i / 3 - 2 i

Answer 1

vamos lá...

a)
$\frac{6}{5i} = \frac{6.(-5i)}{(5i)(-5i)} = \frac{-30i}{-25i^2} = \frac{-30i}{-25(-1)} = \frac{-30i}{25} =- \frac{6i}{5}$ 

b)
$\frac{1-2i}{2+i} = \frac{(1-2i(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{2-i-4i+2i^2}{2^2-i^2} = \frac{2-5i-2}{4+1} =- \frac{5i}{5} =-i$ 

c)
$\frac{2i}{1-i} = \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i+2i^2}{1^1-i^2} = \frac{2i-2}{1+1} = \frac{2i-2}{2} = \frac{\not2(i-1)}{\not2} =-1+i$ 

d)
$\frac{1}{i} + \frac{1}{1+i} = \\ \\ mmc=i(1+i) \\ \\ \frac{1+i+i}{i(1+i)} = \frac{1+2i}{i+i^2} = \frac{1+2i}{i-1} = \\ \\ \frac{(1+2i)(i+1)}{(i-1)(i+1)} = \frac{i+1+2i^2+2i}{i^2-1^2} = \\ \\ \frac{3i+1-2}{-1-1} = \frac{-1+3i}{-2} = \frac{1-3i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3i}{2}$ 

e)
$\frac{(1+i)^2}{1-i} = \frac{1+2i+i^2}{1-i} = \frac{1+2i-1}{1-i} = \\ \\ \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i+2i^2}{1^1-i^2} = \frac{2i-2}{1+1} = \frac{\not2(i-1)}{\not2} =-1+i$ 

f)
$\frac{2}{2} + \frac{3i-2i}{3-2i} = 1+ \frac{3i-2i}{3-2i} = \\ \\ mmc=3-2i \\ \\ \frac{3-2i+3i-2i}{3-2i} = \frac{3-i}{3-2i} = \\ \\ \frac{(3-i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \\ \\ \frac{9+6i-3i-2i^2}{3^2-(2i)^2} = \frac{9+3i+2}{9+4} = \\ \\ \frac{11+3i}{13} = \frac{11}{13} + \frac{3i}{13}$

Answer 2

As expressões com números complexos podem ser escritas como:

a) -6i/5

b) -i

c) i - 1

d) (1 - 3i)/2

e) i - 1

f) 8/13

Números complexos

• números complexos abrangem números que podem ser escritos na forma z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária;

• a soma de números complexos é feita ao somar todas as partes reais e todas as partes imaginárias separadamente;

• a multiplicação de números complexos é feita pela propriedade distributiva, lembrando que i² = -1.

a) Como 5i está no denominador, temos que multiplicar o numerador e denominador pelo conjugado do denominador:

6/5i = 6/5i · (-5i/-5i) = -30i/(-25i²)

6/5i = -30i/25

6/5i = -6i/5

b) (1 - 2i)/(2 + 1) = (1 - 2i)/(2 + i) · (2 - i)/(2 - i)

(1 - 2i)/(2 + 1) = (2 - i - 4i + 2i²)/(4 - i²)

(1 - 2i)/(2 + 1) = -5i/5

(1 - 2i)/(2 + 1) = -i

c) 2i/(1 - i) = 2i/(1 - i) · (1 + i)/(1 + i)

2i/(1 - i) = (2i · (1 + i))/(1² - i²)

2i/(1 - i) = (2i + 2i²)/2

2i/(1 - i) = i - 1

d) (1/i) + 1/(1 + i) = (1 + i + i)/i·(1 + i)

(1/i) + 1/(1 + i) = (1 + 2i)/(i + i²)

(1/i) + 1/(1 + i) = (1 + 2i)/(i - 1) · (-i - 1)/(-i - 1)

(1/i) + 1/(1 + i) = (-i - 1 - 2i² - 2i)/(-i² + 1²)

(1/i) + 1/(1 + i) = (1 - 3i)/2

e) (1 + i)²/(1 - i) = (1 + i)²/(1 - i) · (1 + i)/(1 + i)

(1 + i)²/(1 - i) = (1 + 2i + i²)·(1 + i)/(1² - i²)

(1 + i)²/(1 - i) = (2i + 2i²)/2

(1 + i)²/(1 - i) = i - 1

f) 2/(2 + 3i) - 2i/(3 - 2i) = 2/(2 + 3i) · (2 - 3i)/(2 - 3i) - 2i/(3 - 2i) · (3 + 2i)/(3 + 2i)

2/(2 + 3i) - 2i/(3 - 2i) = (4 - 6i)/(2² - (3i)²) - (6i + 4i²)/(3² - (2i)²)

2/(2 + 3i) - 2i/(3 - 2i) = (4 - 6i)/13 - (6i - 4)/13

2/(2 + 3i) - 2i/(3 - 2i) = (4 - 6i - 6i + 4)/13

2/(2 + 3i) - 2i/(3 - 2i) = 8/13

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