5. Escreva a equação de cada uma das retas que passam pelo ponto P(2.3) e são tangentes à circunferência de
equação x2 + 4x + y2 – 6y + 5 = 0.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:x² + 4x + y²-6y + 5 = 0
uma forma de fazer é escrever a equacao de todas as retas que passam em (2,3)
equacao das retas é y=mx+k
temos o ponto (2,3)
3=2m+k
k=3-2m
as equacoes das retas que passam em (2,3) sao y=mx-2m+3
vamos fazer a intercepção da circunferencia com estas retas
x² + 4x + y²-6y + 5 = 0
x² + 4x + (mx-2m+3)²-6(mx-2m+3) + 5 = 0
(m²+1)x² -4(m²-1)x +4m²-4 = 0
para que a circunferencia so intercepte cada reta num ponto, condicao para ser tangente , o delta desta equacao tem de ser zero
delta = b²-4ac
delta = (-4(m²-1))² - 4(m²+1)(4m²-4)
queremos que delta seja zero
(-4(m²-1))² - 4(m²+1)(4m²-4) = 0
16 (m⁴ -2m²+1) - (4m²+4)(4m²-4)=0
16m⁴ -32m²+16 -(16m⁴-16m²+16m²-16)=0
16m⁴ -32m²+16 -16m⁴+16=0
-32m²+32=0
-32m²=-32
32m²=32
m²=1
m=1 OU m=-1 de todas as retas que passam em(2,3) sao apenas duas as que so interceptam a circunferencia num ponto
uma delas tem declive m=1 e a outra tem decive m=-1
pegando nas equacoes das retas que passam em (2,3) substituindo o m por 1 e por -1 chegamos a resposta desta pergunta
y=mx-2m+3
uma reta é fazer m=1
y=(1)x -2 +3 ou seja y=x+1<---- uma reta pedida
a outra reta é fazer m=-1
y=(-1)x-2(-1)+3 ou seja y=-x+5 <---- outra reta pedida
aí esta o grafico: http://picpaste.com/retasecircunf-zRi5Moc3.jpg
NOTA:
repara que a circunferencia do grafico de eq (x+2)²+(y-3)²=8 é a mesma de
x² + 4x + y²-6y + 5 = 0
porque expandindo (x+2)²+(y-3)²=8 dá
x² + 4x +4 +y²-6y+9 -8=0
x²+4x +y²-6y +4+9-8=0
x²+4x +y²-6y +5=0