5 - Em um jogo de sinuca, uma bola é lançada do ponto O para atingir o ponto C, passando pelos pontos
A e B seguindo a trajetória indicada na figura a seguir.
Nessas condições, calcule:
a) O ângulo y em função do ângulo z;
b) O valor de x indicado na figura.
Soluções para a tarefa
(a) O ângulo y em função do ângulo z fica: y = 2z.
(b) O valor de x indicado na figura vale 0,5 m.
Para encontrar cada item pedido, usaremos a hipótese de que a mesa de sinuca é um retângulo. Isso nos dá a possibilidade de usar de lados opostos paralelos para concluir sobre os ângulos que aparecem na figura.
Observe, primeiramente, que o triângulo AOD é retângulo (Veja a figura em anexo). Dessa forma, z + w = 90º.
Ainda, usando que os lados opostos do retângulo são paralelos, tem-se que ∠BAC ≡ ∠ABE (ângulo formado por reta transversal que corta paralelas).
Outra coisa é que como o ângulo de incidência da linha de trajetória da bola é igual ao ângulo de reflexão, ∠CBF também vale w. Com isso, 2w + y = 180º.
Substituindo uma equação na outra:
2w + y = 180º ⇒ y = 180 - 2w = 180 - 2 . (90 - z) = 180 - 180 + 2z = 2z
Logo, y = 2z.
(a) y = 2z.
Para encontrar x, basta observar primeiro que os triângulos AOD e CBF são semelhantes. De fato, isso ocorre pois eles tem os mesmos ângulos internos (w, 90º e z).
Ainda, traçando uma perpendicular à base do retângulo passando por A, temos o triângulo AGB que também é semelhante aos triângulos AOD e CBF. Inclusive, é fácil observar que AGB é congruente ao triângulo CBF.
Seja GB = BG = q. Da figura, x + 2q = 2,0.
Usando agora da relação entre os lados proporcionais dos triângulos AOD e CBF:
1,2/q = 0,8/x ⇒ q = 1,5x
Substituindo,
x + 2(1,5x) = 2,0 ⇒ x + 3x = 2 ⇒ 4x = 2 ⇒ x = 0,5
Assim, x vale 0,5 metros
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