Question

5 — Em um campeonato de futebol participam 10 times. Se na primeira rodada todos os times devem enfrentar-se entre si, quantas partidas deve ter essa rodada?​

Answer 1

Resposta:

45 jogos

Explicação passo-a-passo:

O primeiro time joga com os outros 9, então já são 9 jogos.

O próximo time também joga 9 vezes, mas um dos jogos já ocorreu com o primeiro time, somando apenas 8.

Pensando desta maneira, podemos chegar num resultado com soma de P.A., onde a razão é igual a $-1$

$an=a1+(n-1)*r\\an=9+(10-1)*(-1)\\an=0\\\\Sn=\frac{(9+0)*10}{2} \\\\Sn=\frac{(a1+an)*n}{2} \\Sn=\frac{90}{2} \\Sn=45$

Logo, no total serão 45 jogos nessa rodada

Answer 2

Utilizando calculo de combinações, vemos que temos ao todo 45 possíveis jogos diferentes para acontece neste campeonato.

Explicação passo-a-passo:

Note então que se neste campeonato, cada time deve se enfrentar ao menos uma vez, então queremos saber quantas combinações de pares cosenguimos fazer com estes 10 times, pois note que cada jogo é composto de 2 times, ou seja, uma combinação de 2 times dentre 10 ao todo.

Combinações de P valores dentro de N valores são calculados da forma:

$C_{P,N}=\frac{N!}{P!(N-P)!}$

Assim como combinações já descontam repetições e ordenação, podemos simplesmente substituir o valor do grupo maior por 10 e o grupo menor por 2 e calcular:

$C_{2,10}=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{10.9.8!}{2!8!}=\frac{10.9}{2}=45$

E assim vemos que temos ao todo 45 possíveis jogos diferentes para acontece neste campeonato.

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