5. Determine uma situação-problema em que se triângulo retângulo. deseja determinar as medidas das projeções em um triângulo retangulo
Soluções para a tarefa
Resposta:
A medida das projeções neste triângulo são 25/13 cm e 144/13 cm.
Explicação passo-a-passo:
Seja ‘a’ a medida da hipotenusa, ‘b’ a medida do cateto, ‘c’ a medida do cateto, ‘h’ a medida da altura relativa à hipotenusa, ‘m’ a projeção do cateto b sobre a hipotenusa e ‘n’ a projeção do cateto c sobre a hipotenusa, as relações métricas do triângulo retângulo são:
a·h = b·c
b² = a·m
c² = a·n
h² = m·n
Pelo teorema de Pitágoras, podemos encontrar a medida do segundo cateto:
a² = b² + c²
13² = 5² + c²
169 - 25 = c²
c² = 144
c = 12 cm
Utilizando as relações métricas, temos:
b² = a·m
5² = 13·m
m = 25/13 cm
c² = a·n
12² = 13·n
n = 144/13 cm
Exemplo de situação-problema em que se deseja obter as medidas das projeções em um triângulo retângulo:
"Um triângulo retângulo tem altura relativa à hipotenusa igual a 8 cm. Sua hipotenusa mede 20 cm. Então, determine as medidas das projeções dos catetos sobre essa hipotenusa".
Relações métricas no triângulo retângulo
O quadrado da medida da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h² = m·n
Logo:
m·n = h²
m·n = 8²
m·n = 64
Como a hipotenusa é a soma dessas duas projeções, temos:
a = m + n
Logo:
m + n = 20
Sistema de equações:
{m + n = 20 => n = 20 - m
{m·n = 64
m·n = 64
m·(20 - m) = 64
20m - m² = 64
- m² + 20m - 64 = 0
Resolvendo essa equação do 2° grau, encontramos:
m = 16 cm
Logo:
n = 20 - m
n = 20 - 16
n = 4 cm
As medidas das projeções são 16 cm e 4 cm.
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