Question

5) Determine os limites:

a) lim (x,y) ->(1,1) 5x/3x^2+2y
b) lim (x,y) ->(0,1) 5x/3x^2+2y
c) lim (x,y) ->(1,0) 5x/3x^2+2y
d) lim (x,y) ->(0,0) 5x/3x^2+2y

Answer 1

$f(x)=\dfrac{5x}{3x^2+2y}$

puesto que 5x es una función continua en todo $\mathbb R$ e $3x^2+2y$ es una función continua en todo el plano $\mathbb R^2$ entonces la división de funciones continuas, es continua excepto cuando $3x^2+2y=0$ es decir, que $f$ es una función continua en $\mathbb R^2 -\left\{\left(x,-\dfrac{3x^2}{2}\right): x\in \mathbb R\right\}$

Por eso los límites desde (a) hasta (b) simplemente se evalúan en (1,1) ,(0,1) , (1,0) respectivamente, ya que estos puntos están en la región de continuidad de $f$

Solo resta calcular, si es que existe:
                $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{5x}{3x^2+2y}$

Empecemos por las rectas que pasan por (0,0), es decir por el conjunto
                 $A=\{(t,mt): t\in \mathbb R\,,\, m\in \mathbb R\}$
donde $m$ es fijo

$\displaystyle L=\lim\limits_\substack{(x,y)\to(0,0)\\(x,y)\in A}}\dfrac{5x}{3x^2+2y}\\ \\ L=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{5t}{3(5t^2)+2mt}\\\\ L=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{5}{15t+2m}\\\\ L=\dfrac{5}{2m}$

Como el límite depende de $m$ se puede decir que el límite no existe