Matemática, perguntado por ggnkjkjjkkkl, 9 meses atrás

5) Determine os intervalos abertos em que a função

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
2

Temos a seguinte função:

 \sf f(x ) =  -  \frac{x {}^{3} }{3}  +  \frac{ {x}^{2} }{2}  + 2x + 5 \\

Para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função, devemos encontrar a derivada primeira dessa função, ou seja, devemos derivar apenas uma vez:

 \sf f'(x) =  -  \frac{3x {}^{2} }{3}  +  \frac{2x}{2}  + 2 + 0  \\  \sf f' (x) =  - x {}^{2}  + x + 2 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:

Agora vamos encontrar os pontos críticos dessa derivada, ou seja, os pontos que a tornam igual a 0, o que significa que devemos igualar a "0" e encontrar as raízes:

 \sf  - \underbrace{ 1x }_{a}{}^{2}  +  \underbrace{1x} _ {b}+ \underbrace {2}_ {c }= 0 \\  \\  \sf S =  \frac{ - b}{a}    \: \:   \: e \:   \:  \:   P = \frac{c}{a}    \:  \:  \:  \: \:  \:  \: \\   \\ \sf S =  \frac{ - 1}{ - 1}  \:  \:  \:  \: e \:  \:  \:  P =  \frac{2}{ - 1}  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\  \sf S = 1   \:  \: \: e \:  \:  \:   P =  - 2 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:

Agora devemos pensar em dois números que somados resultam em 1 e dois números que multiplicados resultam em -2, certamente você há de concordar comigo que esses números são:

  \begin{cases}\sf 2  -  1 = 1 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\ \sf 2.( - 1) =  - 2 \end{cases} \to  \begin{cases} \sf x_1 =  - 1 \:  \: e \:  \: x_2 = 2 \end{cases}

Então temos que esses são os pontos críticos.

Agora vamos montar duas inequações com a função que derivamos:

 \sf  - x {}^{2}  + x + 2 > 0 \\  \sf  - x {}^{2}  + x + 2 < 0

Para resolver essas inequações, devemos esboçar o gráfico dessa função a partir dos pontos críticos (raízes), não será necessário ser um gráfico bem elaborado, mas sim só um esboço que já nos ajuda a entender os intervalos. (O gráfico está anexado na resposta). Observando o gráfico vamos resolver essas inequações que montamos ↑.

→ Quando o resultado é maior que "0" (crescente/positivo), temos que ter os valores entre -1 e 2, então:

 \sf   ] - 1,2[  \:  \:  \to crescente

→ Quando o resultado é menor que "0" (decrescente/negativo), temos que ter os valores que são menores que 1 e maiores que 2, então:

 \sf   ] -  \infty , - 1[   \:   \to decrescente \\   \sf ]  +  2 ,   + \infty [ \:  \to decrescente \:

Espero ter ajudado

Anexos:

ggnkjkjjkkkl: so tenho a agradecer muito obrigada
Nefertitii: (ノ◕ヮ◕)ノ*.✧
ggnkjkjjkkkl: preciso de aajudaa
Nefertitii: Pode postar a questão
ggnkjkjjkkkl: ja postei
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