Question

5) Determine os intervalos abertos em que a função

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x ) = - \frac{x {}^{3} }{3} + \frac{ {x}^{2} }{2} + 2x + 5$

Para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função, devemos encontrar a derivada primeira dessa função, ou seja, devemos derivar apenas uma vez:

$\sf f'(x) = - \frac{3x {}^{2} }{3} + \frac{2x}{2} + 2 + 0 \\ \sf f' (x) = - x {}^{2} + x + 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos encontrar os pontos críticos dessa derivada, ou seja, os pontos que a tornam igual a 0, o que significa que devemos igualar a "0" e encontrar as raízes:

$\sf - \underbrace{ 1x }_{a}{}^{2} + \underbrace{1x} _ {b}+ \underbrace {2}_ {c }= 0 \\ \\ \sf S = \frac{ - b}{a} \: \: \: e \: \: \: P = \frac{c}{a} \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf S = \frac{ - 1}{ - 1} \: \: \: \: e \: \: \: P = \frac{2}{ - 1} \: \: \: \: \: \\ \\ \sf S = 1 \: \: \: e \: \: \: P = - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora devemos pensar em dois números que somados resultam em 1 e dois números que multiplicados resultam em -2, certamente você há de concordar comigo que esses números são:

$\begin{cases}\sf 2 - 1 = 1 \: \: \: \: \: \: \\ \sf 2.( - 1) = - 2 \end{cases} \to \begin{cases} \sf x_1 = - 1 \: \: e \: \: x_2 = 2 \end{cases}$

Então temos que esses são os pontos críticos.

Agora vamos montar duas inequações com a função que derivamos:

$\sf - x {}^{2} + x + 2 > 0 \\ \sf - x {}^{2} + x + 2 < 0$

Para resolver essas inequações, devemos esboçar o gráfico dessa função a partir dos pontos críticos (raízes), não será necessário ser um gráfico bem elaborado, mas sim só um esboço que já nos ajuda a entender os intervalos. (O gráfico está anexado na resposta). Observando o gráfico vamos resolver essas inequações que montamos ↑.

→ Quando o resultado é maior que "0" (crescente/positivo), temos que ter os valores entre -1 e 2, então:

$\sf ] - 1,2[ \: \: \to crescente$

→ Quando o resultado é menor que "0" (decrescente/negativo), temos que ter os valores que são menores que 1 e maiores que 2, então:

$\sf ] - \infty , - 1[ \: \to decrescente \\ \sf ] + 2 , + \infty [ \: \to decrescente \:$

Espero ter ajudado