Question

5. Determine o conjunto solução das seguintes equações seguintes

b)4/x²-4+ 1/x+2=1/x

Answer 1

Depois de fatorar e isolar o X podemos concluir que não existe solução possível para X

Sem solução

• Mas, como chegamos nessa resposta ?

Temos que achar  a solução que satisfaça  a seguinte equação fracionaria

$\dfrac{4}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x}$

Antes de começarmos temos que lembrar que em fração o denominador não pode ser 0 para não causar indeterminação

A questão ja nos facilitou e nos disse os valores que X pode assumir

$\boxed{X\neq 2~~~X\neq -2~~X\neq 0}$

Significa que se acharmos o valor de X igual um desses resultado não existe solução pra equação

Com isso em mente vamos lá

$\dfrac{4}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x}$

Temos uma questão  de equação fracionário precisamos de alguma forma tirar esse denominador para que a questão vire uma equação normal

Vamos multiplicar cada termo da equação pelos denominadores assim  conseguiremos tirar eles

$\dfrac{4}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x}\\\\\\\\\left( (x^2-4)\cdot (x+2)\cdot x\cdot \dfrac{4}{x^2-4}\right)+\left( (x^2-4)\cdot (x+2)\cdot x\cdot \dfrac{1}{x+2}\right)=\left( (x^2-4)\cdot (x+2)\cdot x\cdot \dfrac{1}{x}\right)$

Podemos simplificar o denominador pela parte de cima

$\left( 1\cdot (x+2)\cdot x\cdot \dfrac{4}{1}\right)+\left( (x^2-4)\cdot1\cdot x\cdot \dfrac{1}{1}\right)=\left( (x^2-4)\cdot (x+2)\cdot 1\cdot \dfrac{1}{1}\right)$

Multiplicar o dividir qualquer número por 1 gera ele mesmo

$\left( (x+2)\cdot x\cdot 4\right)+\left( (x^2-4)\cdot x\right)=\left( (x^2-4)\cdot (x+2)\right)$

Basta fazermos propriedade distributiva

$(4x\cdot (x+2))+(x\cdot (x^2-4)=((x^2-4)\cdot(x+2))\\\\\\4x^2+8x+x^3-4x=x^3+2x^2-4x-8\\\\\\4x^2+8x+x^3-4x-x^3-2x^2+4x+8=0\\\\-x^3+x^3+4x^2-2x^2+8x-4x+4x-8=0\\\\0+2x^2+8x+8=0\\\\\boxed{2x^2+8x+8=0}$

Temos uma raiz do 2° agora, antes de aplicarmos Bhaskara podemos simplifica-la pois todos os membros da expressão são múltiplos de 2

$2x^2+8x+8=0\\\\\\\dfrac{2x^2}{2}+\dfrac{8x}{2} + \dfrac{8}{2} = \dfrac{8}{0}\\ \\\\\boxed{x^2+4x+4=0}$

agora basta aplicarmos bhaskara e achar o valor de X

$x^2+4x+4=0\\\\A=1\\B=4\\C=4\\\\\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a} \\\\\\\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 4} }{2\cdot 1} \\\\\\\dfrac{-4\pm\sqrt{16-16} }{2} \\\\\\\dfrac{-4\pm\sqrt{0} }{2}\\\\\\\dfrac{-4\pm0}{2}\\\\\\X_1=\dfrac{-4+0}{2}\Rightarrow \boxed{-2} \\\\\\X_2=\dfrac{-4-0}{2}\Rightarrow \boxed{-2}$

Logo o valor de X é -2 MAS lembre-se o valor de X não pode ser -2 pois gera uma indeterminação

Logo como o único valor possível de X não é valido o sistema não tem solução

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