Question

5 - Determine a posição relativa de cada uma das retas listadas a seguir em relação a circunferência de equação
$(x - 3) {}^{2} + (y + 2) {}^{2} = 25$
a) r: 12x - 5y + 19= 0
b) t: 4x - 3y - 10 = 0
c) s: 7x + 4y + 15 = 0
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Para determinarmos a posição relativa de uma reta em relação a uma circunferência precisamos saber esta fórmula :

Distância : A× X0 + B × Y0 + C / ✓ a^2+ b^2

( "a" vezes X0 mais "b" vezes Y0 mais "c" dividido por raiz quadrada de "a"ao quadrado mais "b" ao quadrado { tudo junto } ) .

Temos que a equação da circunferência é :

( X-3) ^2 + ( Y+2) ^2 = 25 ,

deste modo temos que X0 = 3 e Y0 = -2 e r(raio) é igual a 5 ; já que a fórmula de uma equação da circunferência é : (X-a)^2 + ( Y- b) ^2 = r^2 .

os valores X0 e Y0 são os valores de |a| e de |b| nesta fórmula.Então o centro da circunferência está no ponto ( 3,-2) .

não se esqueça que o menos é da fórmula , por isso 3 é positivo ... já o 2 é negativo por causa da troca de sinais , na equação da circunferência..

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Vamos à letra A :

12X+5Y+19 = 0

a= 12

b= 5

C=19

Distância do centro C até a reta R é:

D(C,R) = A× X0 + B × Y0 + C / ✓ a^2+ b^2

D(C,R) = 12×3 + 5×(-2) + 19 / ✓ 12^2+ 5^2

D(C,R) = 36-10+19/✓169

D(C,R) = 45/13

D(C,R) = 3,46

logo , a reta é interna a circunferência ( chamada de reta Secante )., pois como o raio da circunferência é 5 , a reta passa por dentro dela ,já que deu 3,46 .

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Vamos à letra B :

Distância do centro C até a reta T :

t: 4x - 3y - 10 = 0

a= 4

b= -3

C= -10

( não esqueça que X0 e Y0 valem 3 e -2 respectivamente; já que são as coordenadas do centro C)

D(C,T) = A× X0 + B × Y0 + C / ✓ a^2+ b^2

D( C,T) = 4×3-3(-2)+(-10)/✓4^2+(-3)^2

D(C,T) = 12+6-10/✓25

D( C,T) = 28/5

D(C,T) = 5,6

reta externa à circunferência , já que foi maior que o raio .

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Vamos à letra C :

Distância do centro C até a reta S

s:7x + 4y + 15 = 0

a= 7

b= 4

C= 15

D( C,S) = A× X0 + B × Y0 + C / ✓ a^2+ b^2

D( C,S) = 7 × 3 + 4 ×(-2) + 15 / ✓ 7^2+ 4^2

D( C,S) = 21-8+15/ ✓ 65

D( C,S) = 28 /✓65

( Como tem raiz no denominador devemos fazer a racionalização , já que não existe solução para os números reais com raiz no denominador. )

D( C,S) = 28/✓65 × ✓65/✓65

D( C,S) = 28✓65/65

D(C,S) = 0,43✓65

resolvendo a raiz e multiplicando por 0,43 dá 3,46 , assim a reta é interna à circunferência.

Para saber mais :

https://youtu.be/5GNJmo1bMlY