Question

5- Determine a posição relativa de cada uma das retas listadas a seguir em relação circunferência
de equação (1-3)2 + 6 + 2)2 = 25,
a) 1:12+ - 5y + 19 = 0
c) s:7x + 4y + 15 = 0
b) t: 4x - 3y - 10 = 0​

Answer 1

A circunferência (x - 3)² + (y + 2)² = 25 é: a) exterior à reta t: 12x - 5y + 19 = 0; b) secante à reta t: 4x - 3y - 10 = 0; c) secante à reta s: 7x + 4y + 15 = 0.

A equação da circunferência é (x - 3)² + (y + 2)² = 25.

Solução

Da equação da circunferência, temos que o centro é C = (3,-2) e o raio é r = 5.

Vamos calcular a distância entre o ponto C e cada uma das retas.

a) Sendo t: 12x - 5y + 19 = 0 , temos que a distância é igual a:

$d=\frac{|12.3 + (-5).(-2) + 19|}{\sqrt{12^2+(-5)^2}}=\frac{100}{13}$.

Como d > 5, então a reta está no exterior da circunferência.

b) Sendo t: 4x - 3y - 10 = 0, temos que a distância é igual a:

$d=\frac{|4.3 + (-3).(-2) + (-10)|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{8}{5}$.

Como d < 5, então a reta é secante à circunferência.

c) Sendo s: 7x + 4y + 15 = 0, temos que a distância é igual a:

$d=\frac{|7.3 + 4.(-3) + 15|}{\sqrt{7^2+4^2}}=\frac{24}{\sqrt{65}}$.

Como d < 5, então a reta é secante à circunferência.