Question

5. De acordo com as propriedades e
condições dos conjuntos, por exemplo, C:X é um
número natural impar, teríamos como resposta o
conjunto C = (1, 3, 5, 7, ...}
Tomando como modelo a informação acima,
marque a alternativa que expressa à propriedade:
X é um número natural múltiplo de 5 e menor que
31.
a) {5, 6, 7, 10, 20, 31)
b) {5, 15, 30)
c) {5, 10, 15, 20, 25, 30)​

Answer 1

A questão trata de definição de conjuntos a partir de uma lei e condições. A definição pode ser dada por linguagem, como é definido o conjunto que inclui o exercício, por linguagem matemática ou simplesmente mostrando os elementos que formam o conjunto.

Conjuntos

Antes de definirmos conjuntos vamos falar um pouco sobre o que são conjuntos. Conjuntos são um agrupamento de elementos que seguem alguma lógica, seja ela matemática ou não. Por exemplo, o conjunto dos animais domésticos inclui elementos como 'cão', 'gato', enquanto o conjunto dos números pares inclui elementos matemáticos, como o número 2 e 4. Um modo de definirmos um conjunto específico A é por meio da notação explícita de seus elementos. Por exemplo, podemos definir um conjunto, A,

$A = \{1,3,5,7,9,\dots\}$

ou

$A = \{'cachorro', 'gato', 'papagaio', \dots\}$

Esta é a forma mais pura do conjunto, pois estamos literalmente vendo seus elementos. Uma outra forma de definir estes conjuntos é por linguagem, primeiro pegamos a lógica em palavras do que o conjunto é formado, para depois extrairmos os elementos deles. Deste modo, os conjuntos definidos acima podem ser definidos como:

A: Conjunto de números ímpares

ou

A: Conjunto de animais domésticos

Outro modo de escrevermos a mesma coisa e com o mesmo uso de linguagem, podemos utilizar da linguagem matemática

$A = \{x\, : \, x \ par\} \hspace{0.2cm} ou \hspace{0.2cm} A = \{2x\, : \, x \in \mathbb{N}\}$

ou

$A = \{x\, :\, x \ \mathrm{animal \ domestico}\}$

Esta última forma é o modo mais formal de se definir um conjunto. A estrutura desta definição é separada em 3 pares entre chaves (as chaves são o que nos revela que o que estamos definindo é um conjunto.)

$A = \{\underbrace{2x}_{elementos}\ \underbrace{ \, :\, }_{tal \ que}\ \underbrace{x \in \mathbb{N}}_{condic\~oes}\}$

A primeira parte nos revela os elementos, tudo que se encaixa como um termo na primeira parte é um elemento de A, desde que ele satisfaça as condições

A segunda parte é composto por um símbolo, que pode ser dois pontos ( : ) ou uma barra vertical ( | ), ambos significam 'tal que' e são o que separam a definição do elemento das condições.

A última parte são todos os elementos que iniciam na separação até o fechamento das chaves e eles mostram as condições para que o termo introduzido em elementos tem de ter para pertencer ao nosso conjunto.

Quando falamos no conjunto dos números pares podemos defini-lo como todo número escrito como 2*x para todo x natural, deste modo, 2x são nossos elementos e 'x natural' são as condições para o elemento.

Quando uma condição revela uma função para a obtenção do conjunto chamamos esta função de lei de formação do conjunto, por exemplo, os números pares podem ser obtidos a partir de outra definição, que introduz a lei de formação

$A = \{x\, :\, x = 2k, \, k\in\mathbb{N}\}$

Cuja lei de formação é  $f(x) = 2x$.

Exercício

Temos a definição por linguagem: C é o conjunto de naturais múltiplos de 5 menores que 31. Vamos transformar isso em linguagem matemática. Se o conjunto é dado por múltiplos de 5, nossos elementos são todos da forma 5x, onde x são números naturais,

$C = \{5x\, :\; x \in \mathbb{N}\}$

No entanto, esta definição não representa C, pois inclui elementos maiores que 31, deste modo, vamos incluir que 5x deve ser menor que 31, portanto,

$5x < 31 \iff x < \dfrac{31}{5} = 6.2$

Como x é natural, x < 6.2 é a mesma coisa que dizer que x ≤ 6, deste modo, adicionamos isto ao setor de condições de nosso conjunto, obtendo

$C = \{5x\, :\; x \in \mathbb{N}, \, x\leq 6\}$

Para obtermos os elementos a partir daí, basta substituirmos x no termo de elementos de 1 até 6, obtendo

$\boxed{C = \{5, 10, 15, 20, 25, 30\}}$

Obtendo como resposta alternativa c)

Answer 2

Resposta:

c)

Explicação passo-a-passo:

A alternativa c) esta mais completa, pois nela contem TODOS os múltiplos