Question

5) Dada a função quadrática f(x) = 3x2 – 10x + 3. Determine:
a) Se a concavidade da parábola definida pela função está voltada para cima ou para baixo.
b) Os zeros da função.
c) As coordenadas do vértice da parábola definida pela função.
d) A intersecção com o eixo x.
e) A intersecção com o eixo y.
g) O conjunto imagem.
h) O esboço do gráfico (fazer o gráfico).
i) O yv, em valor máximo ou mínimo da função.

Answer 1

f(x) = 3x² - 10x + 3

a) Concavidade para cima, pois o valor de "a" é positivo (3)

b) Os zeros de uma função quadrática (pontos onde o valor de y é igual a 0, ou seja estes pontos então no eixo das abcissas) são justamente as raízes da equação que a forma, logo será necessário aplicar bháskara para encontrar as mesmas.

∆ = 64

x₁ = 3

x₂ = 1/3

Os zeros da função são, em coordenadas:

x₁(3;0)

x₂(1/3;0)

c) Há duas maneiras de calcular as coordenadas do vértice da parábola (ponto extremo da mesma no gráfico) :

1) Usar a fórmula:

Xv = - $\frac{b}{2a}$

Xv = 5 / 3

Yv = - $\frac{Delta}{4a}$

Yv = -16 / 3

2)

* Como se trata de uma parábola, é possível achar a coordenada X com o cálculo do ponto médio entre as raízes (zeros) da parábola.

Xv = (x₁ + x₂) / 2

Xv = 10 / 6

Xv = 5 / 3

* Agora, para calcular a coordenada Y do vértice, basta usar o valor obtido do Vx como valor x para a função "f(x) = 3x² - 10x + 3" dada.

Yv = f(10 / 6) = 3.(10 / 6)² - 10.(10 / 6) + 3

Yv = (300 / 36) - (100 / 6) + 3

Yv = -16 / 3

V(10/6 ; -16/3)

d) As intersecções com o eixo X são justamente os zeros da função.

e) A intersecção com o eixo Y é quando x = 0, então é só substituir em   "f(x) = 3x² - 10x + 3".

f(0) = 3.0² - 10.0 + 3

A intersecção é no ponto C(0;3)

g) A imagem de uma função representa todos os valores de Y possíveis para um valor de x Real dado. Logo, podemos concluir que, por uma parábola possuir um limite (Yv), e não é possível determinar valores de Y além desse limite ao usar um valor de x (depende da concavidade da função, se ela for para cima, a imagem tem que ter valores de Y maiores que o Yv, se for para baixo, a imagem terá valores de Y menores que o Yv).

Portanto a imagem desta função, a qual inclui os pontos extremos (ponto fechado), deve ser:

Im(f) = {x ∈ R / y ≥ -16/3}

i) O Yv é mínimo, e é numericamente igual à "-16/3" no plano cartesiano.

h) Anexo do gráfico: