Question

5) Dada a equação da circunferência x^2 + y^2 - 6x + 8y 24 = 0, determinar o centro C e o raio r.

a) o centro da circunferência é C (3, -5) e o raio é 13.
b) o centro da circunferência é C (-2, 3) e o raio é 4.
c ) o centro da circunferência é C (7, -6) e o raio é 5.
d) o centro da circunferência é C (3, -4) e o raio é 7.
e) o centro da circunferência é C (5, 2) e o raio é 2.​

Answer 1

Observação:

Acredito que você tenha esquecido de colocar o sinal na frente do 24 na equação.

Eu tentei aqui, e o único sinal que vai nos dar uma das alternativas é menos (-).

Então a equação fica:

$x^{2} +y^{2}-6x+8y-24 = 0$.

Resposta:

d) o centro da circunferência é C (3, -4) e o raio é 7.

Explicação passo a passo:

O primeiro passo, é reorganizar a conta:

$x^{2} -6x+y^{2}+8y-24 = 0$.

Passando o -24, para o outro lado com sinal trocado:

$x^{2} -6x+y^{2}+8y= 24$.

Agora devemos completar o quadrado do x, e o quadrado do y.

$x^{2} -6x +?_{x}^{2} +y^{2}+8y+?_{y}^{2} = 24+?_{x}^{2} +?_{y}^{2}$.

Para completar um quadrado, um dos métodos, é lembrar do quadrado da soma:

$(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$.

O nosso, em relação a x, é:

$(x+?_{x})^{2}$ = $x^{2}+2(x)(?_{x})+?_{x}^{2}$.

Nós sabemos que $2(x)(?_{x})$ ⇔ -6x, então $?_{x} = -3$.

Nossa equação vai ficar:

$x^{2} -6x +(-3)^{2} +y^{2}+8y+?_{y}^{2} = 24+(-3)^{2} +?_{y}^{2}$.

Agora, usando a mesma ideia, encontraremos que $?_{y} = 4$.

A equação vai ficar:

$x^{2} -6x +(-3)^{2} +y^{2}+8y+(4)^{2} = 24+(-3)^{2} +(4)^{2}$.

Resolvendo ficará:

$x^{2} -6x +9 +y^{2}+8y+16 = 24 +9 +16$.

⇒ $x^{2} -6x +9 +y^{2}+8y+16 = 49$.

Escrevendo $x^{2} -6x +9 \ e \ y^{2}+8y+16$ como um quadrado:

$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}$.

⇒ $(x-3)^{2}+(y+4)^{2} = 49$.

Agora precisamos relembrar a equação reduzida da circunferência:

Equação reduzida da circunferência:

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$ .

Sendo:

p ∧ q = coordenadas do centro.

r = raio do círculo.

Devemos reescrever a parte de dentro dos quadrados, como uma soma:

⇒ $(x-3)^{2}+(y-(-4))^{2} = 7^{2}$.

Agora basta aplicar na fórmula:

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$ ⇔ $(x-3)^{2}+(y-(-4))^{2} = 7^{2}$.

Círculo de raio r = 7 e centro (3 , -4).