Question

-5.cos²x+10senx-10=0

Answer 1

Resposta:

Resposta: $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$

Explicação passo a passo:

Observando a equação $-5cos^2x+10senx-10=0$, percebemos que todos os seus termos são múltiplos de 5. Assim, para facilitar nossos cálculos, vamos dividir essa equação por 5 para obter a seguinte equação equivalente:

$-cos^2x+2senx-2=0$. Vamos passar a trabalhar com essa equação.

Repare que é uma equação envolvendo DUAS razões trigonométricas: seno e cosseno. Precisamos reduzir a apenas UMA razão trigonométrica. Para isso, vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:

$sen^2x+cos^2x=1$

Podemos isolar $cos^2x$, veja:

$cos^2x=1-sen^2x$

Agora, vamos substituir esse valor de $cos^2x$ na nossa equação. Veja:

$-cos^2x+2senx-2=0$

$-(1-sen^2x)+2senx-2=0$

$-1+sen^2x+2senx-2=0$

$sen^2x+2senx-3=0$

Como pretendíamos, obtivemos uma equação que possui apenas UMA razão trigonométrica e não duas. Perceba também que essa é uma equação do 2° grau. A incógnita, no caso, é $senx$. Para facilitar, vamos fazer uma substituição de variável:

Façamos $senx=y$. Com isso, a equação passará a ter essa nova forma:

$y^2+2y-3=0$.

Resolva essa equação.

Suas raízes são $y_1=-3$  e  $y_2=+1$.

Como $senx=y$, temos:

$senx=-3$  ou $senx=+1$

Observe que $senx=-3$ não existe, porque o valor do seno é um número real que varia de $-1$ a $+1$.

Agora, no caso da raiz $senx=+1$, sabemos que o arco $x$ cujo seno é igual a +1 é o arco de 90° ou $\frac{\pi}{2}$ rad. Mas, como sabemos que temos que considerar as infinitas voltas do ciclo trigonométrico, a resposta mais geral é feita utilizando a expressão geral dos arcos côngruos:

Resposta: $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$

Espero ter ajudado! Bons estudos!