Question

5)
Certa empresa está desenvolvendo um novo formato de peça metálica. Depois de vários esboços os responsáveis por essa produção decidiram que a peça
é formada pelas curvas f(x) = x² + 2 e g(x) = -x² + 4 conforme a figura a seguir. Além de esboçar essa peça, sabe-se que é necessário calcular a área da região sombreada,
para isso considere os intervalos [0, 1] e [1, 2].



Mediante essas informações, assinale a alternativa que contém a área aproximada da região sombreada:

Alternativas:

a)
4/3 u.a.

b)
8/3 u.a.

c)
3 u.a.

d)
4 u.a.

e)
6 u.a.

Answer 1

Resposta: 4 u.a

Explicação passo-a-passo:

No intervalo [0,1] a função superior é 4-x² e a inferior é x²+2.

A área no intervalo é dada por $\int\limits^1_0 {(4-x^{2})-(x^{2} +2) } \, dx \\\\=\int\limits^1_0 {(4-x^{2}-x^{2} -2) } \, dx \\\\=\int\limits^1_0 {(2-2x^{2}) } \, dx =2x-\frac{2}{3}x^{3}  \left \{ {{x=1} \atop {x=0}} \\\right. =2.1-\frac{2}{3}.1</h3><p>[tex]2-\frac{2}{3} =\frac{6-2}{3} =\frac{4}{3}$

no intervalo [1,2] a função superior é x²+2 e a inferior 4-x²

e a área é dada por

$\int\limits^2_1 {[(x^{2}+2)-(4-x^{2})]  } \, dx \\\\=\int\limits^2_1 {[x^{2}+2-4+x^{2} ] } \, dx \\\\=\int\limits^2_1 [2x^{2}-2]} \, dx \\\\=\frac{2}{3}x^{3}-2x\left \{ {{x=2} \atop {x=1}} \right. \\\\\frac{2}{3}.2^{3}-2.2 -[\frac{2}{3}.1^{3} -2.1]\\\\=\frac{16}{3} -4-\frac{2}{3}+2\\\\=\frac{14}{3}-2=\frac{14-6}{3} =\frac{8}{3}$

a área total é dada pela soma das áreas das regiões nos intervalos [0,1] e [1,2]

ou seja

$\frac{4}{3}+\frac{8}{3}=\frac{12}{3} =4$