Question

5)
Certa empresa está desenvolvendo um novo formato de peça metálica. Depois de vários esboços os responsáveis por essa produção decidiram que a peça
é formada pelas curvas f(x) = x² + 2 e g(x) = -x² + 4 conforme a figura a seguir. Além de esboçar essa peça, sabe-se que é necessário calcular a área da região sombreada,
para isso considere os intervalos [0, 1] e [1, 2].



Mediante essas informações, assinale a alternativa que contém a área aproximada da região sombreada:

Alternativas:

a)4/3 u.a.

b)8/3 u.a.

c)3 u.a.

d)4 u.a.

e)6 u.a.

Answer 1

A área da região sombreada é 4 u.a.

A interseção das curvas acontece no ponto (1, 3), então podemos dividir esta área em duas integrais diferentes. Para a primeira região, temos os limites 0 ≤ x ≤ 1 e x² + 2 ≤ y ≤ -x² + 4. Assim, temos:

$A1 = \int\limits^1_0 \int\limits^{-x^2+4}_{x^2+2} \, dydx$

Da mesma forma, para a segunda região, teremos 1 ≤ x ≤ 2 e -x² + 4 ≤ y ≤ x² + 2:

$A2 = \int\limits^2_1 \int\limits^{x^2+2}_{-x^2+4} \, dydx$

Calculando as integrais, temos:

$A1 = \int\limits^1_0 -x^2+4 - (x^2+2) \, dx\\A1 = \int\limits^1_0 -2x^2+2\, dx\\A1 = \left(-2\dfrac{x^3}{3} + 2x\right)|_0^1\\A1 = -\dfrac{2}{3} + 2\\A1 = \dfrac{4}{3}$

$A2 = \int\limits^2_1 x^2+2 - (-x^2+4) \, dx\\A2 = \int\limits^2_1 2x^2-2\, dx\\A2 = \left(2\dfrac{x^3}{3} - 2x\right)|_1^2\\A2 = \left(\dfrac{16}{3} -4\right) - \left(\dfrac{2}{3} - 2\right)\\A2 = \dfrac{8}{3}$

A área da região sombreada é:

A = 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4 u.a.

Resposta: D