5- calcule o valor númererico das expressões:
a) 2a-3b para = -5 eb =0
b)×/2 + 2× para ×= -3
c) para ×=4 ey=3
d) para a= 2,b=-10 e (=12
Soluções para a tarefa
Resposta:
Para encontrarmos os valores máximos e mínimos locais de cada uma das funções e seus intervalos de crescimento e decrescimento, devemos nos relembrar de algumas propriedades.
a) f(x)=20-x-x^2f(x)=20−x−x2
Esta é uma função quadrática da forma f(x)=ax^2+bx+c,~a\neq0f(x)=ax2+bx+c, a=0 .
Sabemos que:
Se a > 0a>0 , a função apresenta mínimo local (e absoluto) em seu vértice.
Se a < 0a<0 , a função apresenta máximo local (e absoluto) em seu vértice.
Como podemos ver, a=-1 < 0a=−1<0 . Dessa forma, ela apresentará um máximo local (e absoluto) em seu vértice.
Para encontrarmos as coordenadas (x_v,~y_v)(xv, yv) de seu vértice, utilizamos as fórmulas:
x_v=-\dfrac{b}{2a}xv=−2ab e y_v=-\dfrac{\Delta}{4a},~\Delta=b^2-4acyv=−4aΔ, Δ=b2−4ac .
Substituindo os coeficientes a=-1,~b=-1a=−1, b=−1 e c=20c=20 , teremos:
x_v=-\dfrac{(-1)}{2\cdot(-1)}xv=−2⋅(−1)(−1) e y_v=-\dfrac{(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot20}{4\cdot(-1)}yv=−4⋅(−1)(−1)2−4⋅(−1)⋅20
Multiplique e some os valores
x_v=-\dfrac{1}{2}xv=−21 e y_v=\dfrac{81}{4}yv=481
Dessa forma, esta função apresenta um máximo local e absoluto em \left(-\dfrac{1}{2},~\dfrac{81}{4}\right)(−21, 481) .
Baseado nesta informação e sabendo que:
A função apresenta um intervalo de crescimento nos pontos que precedem um ponto de máximo local.
A função apresenta um intervalo de decrescimento nos pontos que procedem um ponto de máximo local.
Facilmente, podemos ver que a função apresenta um intervalo de crescimento em \left]-\infty,~-\dfrac{1}{2}\right[]−∞, −21[ e um intervalo de decrescimento em \left]-\dfrac{1}{2},~\infty\right[]−21, ∞[ .
b) f(x)=x^2-(1-x)^2f(x)=x2−(1−x)2
Antes, calculemos a expansão do binômio
f(x)=x^2-(1-2x+x^2)f(x)=x2−(1−2x+x2)
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação
f(x)=x^2-1+2x-x^2f(x)=x2−1+2x−x2
Cancele os termos opostos
f(x)=2x-1f(x)=2x−1
Esta é uma equação de reta. Retas não apresentam pontos de máximo ou mínimo locais (nem absolutos).
Então, nos resta apenas determinar se ela é crescente ou decrescente, em todo o intervalo dos números reais:
Dada uma função afim da forma f(x)=ax+bf(x)=ax+b ,
Se a > 0a>0 , a função é crescente em todo o intervalo dos reais.
Se a < 0a<0 , a função é decrescente em todo o intervalo dos reais.
Como podemos ver, a=2 > 0a=2>0 , logo a reta é crescente e não apresenta pontos de máximo ou mínimo locais ou absolutos.
Seu intervalo de crescimento é: ]-\infty,~\infty[]−∞, ∞[ .