Question

5. Calcule a derivada em relação a x da função xy =1. Primeiro utilize seu conhecimento prévio de derivadas e isole a variável dependente y e efetue o cálculo. A seguir, use a derivação implícita para encontrar a derivada da função como ela se encontra.

Answer 1

A derivada de xy = 1, em relação a x, vale 1/x².

A derivada de uma função representa, de forma básica, a sua taxa de variação em relação a um dado parâmetro da mesma. Existem várias técnicas de derivação, e com elas podemos calcular praticamente todos os tipos de derivadas existentes.

Primeiramente vamos separar as variáveis e aplicar a técnica comum de derivação. Depois vamos utilizar a derivação implícita na expressão inicial e verificar se encontramos o mesmo valor.

1) Temos: xy = 1

Isolando y:

y = 1/x

Derivando:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -x^{-2} = -1/x^2$

2) Temos: xy = 1

Aplicando a derivação implícita, ou seja, vamos derivar ambos os lados da expressão em relação a x:

$\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(1)\\\\x\frac{dy}{dx} + y\frac{dx}{dx} = 0\\\\x\frac{dy}{dx} + y = 0\\\\\frac{dy}{dx} = - \frac{y}{x}$

Se fizermos y = 1/x a partir da expressão original xy = 1, e substituirmos, teremos:

$\frac{dy}{dx} = - \frac{y}{x} = - \frac{1/x}{x} = - \frac{1}{x^2}$

Os resultados são iguais, logo validamos o caso.

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