Question

5) A área da superfície de uma esfera é de 36 pi. Uma seção plana da esfera tem área igual a 4 pi. Calcular a distância do centro da esfera até a seção.

Answer 1

$Observe \ o \ anexo \ \longrightarrow$

$Veja \ que \ qualquer \ corte \ 'de \ ponta \ a \ ponta' \ em \ uma \ esfera \ gera \\ uma \ superf\'icie \ plana \ circular.$

$Sendo \ a \ \'area \ dessa \ superf\'icie \ A_{(sc)} \ = \ 4 \ \cdot \ \pi \ |u|^2, temos \ :$
$4 \ \cdot \ \not{\pi} \ = \ \underbrace{\not{\pi} \ \cdot \ r^2}_{\'area \ circular} \ \rightarrow \\ \\ 4 \ = \ r^2 \ \rightarrow \\ \\ r \ = \ \sqrt{4} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{r \ = \ 2 \ |u|} \ \Rightarrow \ Raio \ da \ superf\'icie \ circular!$$(demarcada \ de \ vermelho \ no \ desenho)$


$Para \ a \ esfera, \ temos \ uma \ superf\'icie \ esf\'erica \ S_{(e)} \ = \ 36 \ \cdot \ \pi \ |u^2|.$

$Ou \ seja \ \Rightarrow \\ \\ 36 \ \cdot \ \not{\pi} \ = \ \underbrace{4 \ \cdot \ \not{\pi} \ \cdot \ R^2}_{\'area \ esf\'erica} \ \rightarrow \\ \\ \frac{36}{4} \ = \ R^2 \ \rightarrow \\ \\ R^2 \ = \ 9 \ \rightarrow \\ \\ R \ = \ \sqrt{9} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{R \ = \ 3 \ |u|} \ \Rightarrow \ Raio \ da \ esfera!$

$Veja \ que, \ al\'em \ de \ tudo, \ n\~ao \ importanto \ o \ corte, \ pela \\ \bold{propriedade \ esf\'erica}, \ todas \ as \ \'areas \ t\^em \ o \ seu \ centro \\ coincidindo \ ortogonalmente \ com \ o \ da \ esfera. \\ \\ Um \ segmento \ dos \ infinitos \ (e \ que \ n\~ao \ \'e \ o \ raio \ esf\'erico) \\ que \ partem \ do \ centro \ da \ esfera \ \'e \ perpendicular \ ao \ di\^ametro \\ da \ \'area \ em \ espec\'ifico.$

$No \ caso, \ \bold{este \ segmento \ \'e \ a \ dita \ dist\^ancia \ da \ esfera \ \`a \ sec\c{c}\~ao}. \\ \\ Geometricamente, \ dist\^ancias \ s\~ao \ segmentos \ perpendiculares \\ entre \ planos \ e \ retas.$

$Veja \ ainda \ que \ h\'a \ um \ segmento \ esf\'erico \ radial \ que \ coincide \\ com \ o \ segmento \ de \ circunfer\^encia \ da \ dita \ \'area \ circular.$

$Acabamos \ por \ formar \ um \ \triangle \ ret\^angulo, \ com \ a \ dist\^ancia \ formando \\ os \ 90^\circ. \\ \\ Do \ desenho, \ R \ (segmento \ roxo) \ \'e \ a \ hipotenusa \ e \ os \ catetos \\ s\~ao \ a \ dist\^ancia \ d \ entre \ o \ centro \ e \ a \ \'area \ circular \\ (dist\^ancia \ entre \ as \ proje\c{c}\~oes \ ortogonais \ em \ cada \ plano), \\ que \ \'e \ o \ segmento \ pontilhado, \ e \ r \ (segmento \ vermelho), \\ o \ raio \ desta \ \'area \ circular.$

$Aplicando \ Pit\'agoras \ \Rightarrow \\ \\ Hip^2 \ = \ cat_1^2 \ + \ cat_2^2 \ \rightarrow \\ \\ R^2 \ = \ d^2 \ + \ r^2 \ \rightarrow \\ \\ 3^2 \ = \ d^2 \ + \ 2^2 \ \rightarrow \\ \\ 9 \ - \ 4 \ = \ d^2 \ \righatrrow \\ \\ \boxed{\boxed{d \ = \ \sqrt{5} \ |u|}} \ Rightarrow \ A \ dita \ dist\^ancia! \\ \\ (r, \ R, \ d \ \ \textgreater \ \ 0)$